图的连通性问题之连通和最小环——Floyd算法

Floyd 判断连通性

d[i][j]仅表示i,j之间是否联通

for(int k=1;k<=n;k++)
  for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=n;j++)
    dis[i][j]=dis[i][j]||(dis[i][k]&&dis[k][j]);

有向图和无向图都适用

当然了，也可以DFS判断连通性

裸题： 

P2419 [USACO08JAN]牛大赛Cow Contest

题目背景

[Usaco2008 Jan]

题目描述

N (1 ≤ N ≤ 100) cows, conveniently numbered 1..N, are participating in a programming contest. As we all know, some cows code better than others. Each cow has a certain constant skill rating that is unique among the competitors.

The contest is conducted in several head-to-head rounds, each between two cows. If cow A has a greater skill level than cow B (1 ≤ A ≤ N; 1 ≤ B ≤ N; A ≠ B), then cow A will always beat cow B.

Farmer John is trying to rank the cows by skill level. Given a list the results of M (1 ≤ M ≤ 4,500) two-cow rounds, determine the number of cows whose ranks can be precisely determined from the results. It is guaranteed that the results of the rounds will not be contradictory.

FJ的N(1 <= N <= 100)头奶牛们最近参加了场程序设计竞赛:)。在赛场上，奶牛们按1..N依次编号。每头奶牛的编程能力不尽相同，并且没有哪两头奶牛的水平不相上下，也就是说，奶牛们的编程能力有明确的排名。 整个比赛被分成了若干轮，每一轮是两头指定编号的奶牛的对决。如果编号为A的奶牛的编程能力强于编号为B的奶牛(1 <= A <= N; 1 <= B <= N; A != B) ，那么她们的对决中，编号为A的奶牛总是能胜出。 FJ想知道奶牛们编程能力的具体排名，于是他找来了奶牛们所有 M(1 <= M <= 4,500)轮比赛的结果，希望你能根据这些信息，推断出尽可能多的奶牛的编程能力排名。比赛结果保证不会自相矛盾。

输入输出格式

输入格式：

第1行: 2个用空格隔开的整数：N 和 M

第2..M+1行: 每行为2个用空格隔开的整数A、B，描述了参加某一轮比赛的奶 牛的编号，以及结果（编号为A，即为每行的第一个数的奶牛为 胜者）

输出格式：

第1行: 输出1个整数，表示排名可以确定的奶牛的数目

输入输出样例

输入样例#1： 复制

5 5
4 3
4 2
3 2
1 2
2 5

输出样例#1： 复制

2

说明

输出说明:

编号为2的奶牛输给了编号为1、3、4的奶牛，也就是说她的水平比这3头奶

牛都差。而编号为5的奶牛又输在了她的手下，也就是说，她的水平比编号为5的

奶牛强一些。于是，编号为2的奶牛的排名必然为第4，编号为5的奶牛的水平必

然最差。其他3头奶牛的排名仍无法确定。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

void read(int &x){
    char ch=getchar();x=0;int flg=1;
    if(ch=='-') flg=-1;
    for(;ch<'0'||ch>'9';) ch=getchar();
    for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';
    x*=flg;
}
int n,m,d[105][105],ans;
int main()
{
    read(n);read(m);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int u,v;
        read(u);read(v);
        d[u][v]=1;
    }for(int k=1;k<=n;k++){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=n;j++){
                d[i][j]=d[i][j]|d[i][k]&d[k][j];
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int tp=0;
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(d[i][j]==1||d[j][i]==1) ++tp;
        }if(tp==n-1) ++ans;
    }cout<<ans;
    return 0;
}

最小环问题

最小环就是指在一张图中找出一个环，使得这个环上的各条边的权值之和最小。在Floyed的同时，可以顺便算出最小环。 
记两点间的最短路为dis[i][j]，g[i][j]为边< i,j > 的权值。

for(int k=1;k<=n;k++)
{
    for(int i=1;<=k-1;i++)
      for(int j=i+1;j<=k-1;j++)
      answer=min(answer,dis[i][j]+g[j][k]+g[k][i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
      for(int j=1;j<=n;j++)
      dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);
}

answer即为这张图的最小环。 

一个环中最大的节点为k，与它相连的节点为i，j，这个环的最短长度为g[i][k]+g[k][j]+(i到j的路径中，所有节点编号都小于k的最短路径长度)。 
根据floyed原理，在最外层进行k-1次循环之后dis[i][j]则代表了i到j的路径中，所有结点编号都小于k的最短路径。 
综上所述，该算法一定能找到图中的最小环。

参考博文：https://blog.csdn.net/cax1165/article/details/51811902

https://blog.csdn.net/BroDrinkWater/article/details/62416723