SCP-bzoj-3309

#### **项目编号：bzoj-3309**

项目等级：Safe

项目描述：

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特殊收容措施：

以下用((x, y))表示(gcd(x, y))。

$$ ans = sum _ {i = 1} ^ {a} sum _ {j = 1} ^ {b} f((i, j)) = sum _ {g = 1} ^ {min(a, b)} f(g) sum _ {i = 1} ^ {lfloor {frac a g} floor} sum _ {j = 1} ^ {lfloor {frac b g} floor} epsilon((i, j)) $$

又有$epsilon = mu * 1$，故

$$ ans = sum _ {g = 1} ^ {min(a, b)} f(g) sum _ {i = 1} ^ {lfloor {frac a g} floor} sum _ {j = 1} ^ {lfloor {frac b g} floor} sum _ {d | i, d | j} mu(d) = sum _ {g = 1} ^ {min(a, b)} f(g) sum _ {d = 1} ^ {min(lfloor {frac a g} floor, lfloor {frac b g} floor)} mu(d) lfloor {frac a {d g}} floor lfloor {frac b {d g}} floor $$

设$T = d g$，则

$$ ans = sum _ {T = 1} ^ {min(a, b)} lfloor {frac a T} floor lfloor {frac b T} floor sum _ {g | T} f(g) mu(frac T g) $$

设$g(T) = sum _ {d | T} f(d) mu(frac T d) = sum _ {d | T} f(frac T d) mu(d)$。

可证明(h(T) = lfloor {frac a T} floor lfloor {frac b T} floor)的取值只有(sqrt[]{min(a,b)})段。

这样对于(h(T))取值相同的(T)，其总贡献为(h(T) sum g(T))，于是只需要线性筛出(g)函数计算前缀和即可。

以下考虑(g(T))的性质。

因为当且仅当(p ^ 2 ot| d)即(mu(d) ot= 0)时，(f(frac T d))对(g(T))有贡献。

设(T = prod _ {i = 1} ^ {k} p _ i ^ {q _ i}, r = max {q _ i})，
集合(A = {q _ i = r}, B = complement _ {Q} ^ {A})。

若({exists}i < j)使得(q _ i ot= q _ j)时：

一旦确定了(A)中d的质因数选取方案，(f(frac T d))也随即确定。

此时所有集合(B)中d的质因数选取方案(sum mu(d)=0)，故此情况对(g(T))贡献为0。

(forall i, j)使得(q _ i = q _ j)时：

当且仅当(d = prod _ {i = 1} ^ {k} p _ i)时，(f(d) = r)，否则(f(d) = r - 1)。

故(g(T) = (r sum mu(d)) + (-1) ^ {k + 1})。

又(sum mu(d)=0)，故(g(T) = (-1) ^ {k + 1})。

由此，可根据以上性质筛出g。

附录：

#include <bits/stdc++.h>
#define range(i,c,o) for(register int i=(c);i<(o);++i)
using namespace std;

// QUICK_IO BEGIN HERE
#ifdef __WIN32
	#define getC getchar
	#define putLL(x,c) printf("%I64d%c",x,c)
#else
	#define getC getchar_unlocked
	#define putLL(x,c) printf("%lld%c",x,c)
#endif

inline unsigned getU()
{
	char c; unsigned r=0;
	while(!isdigit(c=getC()));
	for(;isdigit(c);c=getC())
	{
		r=(r<<3)+(r<<1)+c-'0';
	}
	return r;
}
// QUICK_IO END HERE

static const int MAXN=10000000;
bool flag[MAXN+5]; int pr[MAXN>>2];
int las[MAXN+5]; // for x=y*cur_p^cur_q, las[x]=y
int cnt[MAXN+5]; // for x=y*cur_p^cur_q, cnt[x]=cur_q
int g[MAXN+5]; // g(x)=sigma(f(d)*mu(x/d),d|x)

inline long long solve(const int&x,const int&y)
{
	long long ret=0;
	for(int i=1,j;i<=min(x,y);i=j+1)
	{
		j=min(x/(x/i),y/(y/i));
		ret+=1LL*(g[j]-g[i-1])*(x/i)*(y/i);
	}
	return ret;
}

int main()
{
	int tot=0;
	range(i,2,MAXN+1)
	{
		if(!flag[i]) pr[tot++]=i,las[i]=cnt[i]=g[i]=1;
		range(j,0,tot)
		{
			int x=i*pr[j];
			if(x>MAXN) break;
			flag[x]=1;
			if(i%pr[j]==0)
			{
				las[x]=las[i],cnt[x]=cnt[i]+1,
				g[x]=(las[x]==1?1:-g[las[x]]*(cnt[las[x]]==cnt[x]));
				break;
			}
			las[x]=i,cnt[x]=1,g[x]=-g[i]*(cnt[i]==1);
		}
	}
	range(i,1,MAXN+1) g[i]+=g[i-1];
	for(int T=getU();T--;)
	{
		int x=getU(),y=getU(); putLL(solve(x,y),'
');
	}
	return 0;
}