[LG4016] 负载平衡问题

题意

在网络流 24 题中隐藏的环形均分纸牌问题

分析

考虑普通均分纸牌问题

第 (i) 个人有 (a_i) 张牌，总牌数为 (sum=sum_{i=1}^na_i)，均分下来的牌数为 (T=frac{sum}{n}).

于是每个人与平均值的差为 (d_i= T-a_i). 如果要让 (a_i) 变成 (T)，就让 (a_i+=d_i,a_{i+1}-=d_i).

所以令 (s_i=sum_{j=1}^id_j)，表示第 (i) 个人的吞吐量，那么让前 (k) 个人变成 (T) 的分牌次数为 (sum_{i=1}^k|s_i|).

这是一个定值

考虑环形均分

环形中，必存在 (kin[1,n],a_kleq T,a_{(k+1)mod n}geq T).

因此前者从前面获得纸牌，后者向后面推送纸牌

于是破环为链计算即可

于是双倍一下

那么第 (k+1) 到 (k+n) 的均分数为

[egin{split} &sum_{i=k+1}^{k+n}left|sum_{j=k+1}^id_j ight|\ =&sum_{i=k+1}^{k+n}left| sum_{j=1}^id_j- sum_{j=1}^kd_j ight|\ =&sum_{i=k+1}^{k+n}left| s_i-s_k ight|\ end{split} ]

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=200;
int n,sum,t,ans=0x3f3f3f3f;
int a[N*2],d[N*2],s[N*2],g[N*2];
int abs(int x){return x>0?x:-x;}
int main(){
    scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]),sum+=(a[i+n]=a[i]);
	t=sum/n;
	for(int i=1;i<=n*2;i++)d[i]=t-a[i];
	for(int i=1;i<=n*2;i++)s[i]=s[i-1]+d[i];
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int tot=0;
		for(int j=1;j<=n;j++)tot+=abs(s[i+j]-s[i]);
		ans=min(ans,tot);
	}
	printf("%d",ans);
	return 0;
}