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  • 欧拉回路与欧拉路 之 一笔画问题

    一笔画问题
      如果一个图存在一笔画,则一笔画的路径叫做欧拉路,如果最后又回到起点,那这个路径叫做欧拉回路。
      我们定义奇点是指跟这个点相连的边数目有奇数个的点。对于能够一笔画的图,我们有以下两个定理。
    定理1:存在欧拉路的条件:图是连通的,有且只有2个奇点。
    定理2:存在欧拉回路的条件:图是连通的,有0个奇点。
    两个定理的正确性是显而易见的,既然每条边都要经过一次,那么对于欧拉路,除了起点和终点外,每个点如果进入了一次,显然一定要出去一次,显然是偶点。对于欧拉回路,每个点进入和出去次数一定都是相等的,显然没有奇点。
    一笔画性质:
    ■⒈凡是由偶点组成的连通图,一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点,最后一定能以这个点为终点画完此图。
    ■⒉凡是只有两个奇点的连通图(其余都为偶点),一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点,另一个奇点为终点。
    ■⒊其他情况的图都不能一笔画出。(奇点数除以二便可算出此图需几笔画成。)
      求欧拉路的算法很简单,使用深度优先遍历即可。
      根据一笔画的两个定理,如果寻找欧拉回路,对任意一个点执行深度优先遍历;找欧拉路,则对一个奇点执行DFS,时间复杂度为O(m+n),m为边数,n是点数。
    l样例输入:第一行n,m,有n个点,m条边,以下m行描述每条边连接的两点。
    l    5 5
    l    1 2
    l    2 3
    l    3 4
    l    4 5
    l    5 1
    l样例输出:欧拉路或欧拉回路
    l    1 5 4 3 2 1
     
    欧拉路:
     1 //欧拉路 
     2 
     3 #include<iostream>
     4 #include<cstdio>
     5 using namespace std;
     6 int maps[1001][1001];
     7 int flag[1001];
     8 int tot,n,m;
     9 int ans[1001],p=0;
    10 void dfs(int num){
    11     for(int i=1;i<=m;i++)
    12     if(maps[num][i]==1)
    13     {
    14         maps[num][i]=0;
    15         maps[i][num]=0;
    16         dfs(i);
    17         ans[++p]=i;
    18     }
    19 }
    20 int main()
    21 {
    22     int a,b,flag1=0,start=1;
    23     scanf("%d%d",&m,&n);
    24     for(int i=1;i<=n;i++)
    25     {
    26         scanf("%d%d",&a,&b);
    27         maps[a][b]=1;
    28         maps[b][a]=1;
    29         flag[a]++;
    30         flag[b]++;
    31     }
    32     for(int i=1;i<=n;i++)
    33     {
    34         if(flag[i]%2!=0)
    35         {
    36             if(flag1==0)
    37             start=i;
    38             flag1++;
    39         }
    40         if(flag1>2)
    41         {
    42             printf("Impossible");
    43             return 0;
    44         }
    45     }
    46     dfs(start);//必须从奇点开始搜 
    47     for(int i=1;i<=p;i++)
    48     printf("%d ",ans[i]);
    49     return 0;    
    50 }

    欧拉回路:

    似乎比欧拉路还水:从1开始搜的;

     1 //欧拉回路 
     2 
     3 #include<iostream>
     4 #include<cstdio>
     5 using namespace std;
     6 int maps[1001][1001];
     7 int flag[1001];
     8 int n,m;
     9 int ans[1001],p=0;
    10 void dfs(int num){//搜哦搜 
    11     for(int i=1;i<=m;i++)
    12     if(maps[num][i]==1)
    13     {
    14         maps[num][i]=0;
    15         maps[i][num]=0;
    16         dfs(i);
    17         ans[++p]=i;
    18     }
    19 }
    20 int main()
    21 {
    22     int a,b,flag1=0;
    23     scanf("%d%d",&m,&n);
    24     for(int i=1;i<=n;i++)
    25     {
    26         scanf("%d%d",&a,&b);
    27         maps[a][b]=1;
    28         maps[b][a]=1;
    29         flag[a]++;
    30         flag[b]++;
    31     }
    32     for(int i=1;i<=n;i++)
    33     {
    34         if(flag[i]%2!=0)
    35         {
    36             printf("Impossible");
    37             return 0;
    38         }
    39     }
    40     dfs(1);//满足的话从哪个点搜都可以; 
    41     for(int i=1;i<=p;i++)
    42     printf("%d ",ans[i]);
    43     printf("%d ",1);
    44     return 0;    
    45 }
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