[排序算法]堆排序

快速排序每一趟比较用时O（n），要进行lgn次比较，才最终完成整个排序。所以快排的复杂度才为O（n*lgn）。而本节，我们要讲的是堆排序算法。据我所知，要真正彻底认识一个算法，最好是去查找此算法的原发明者的论文或相关文献。

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一、堆排序算法的基本特性

时间复杂度：O(nlgn) //等同于归并排序
最坏：O(nlgn)
空间复杂度：O(1)
不稳定。

二、堆与最大堆的建立

要介绍堆排序算法，咱们得先从介绍堆开始，然后到建立最大堆，最后才讲到堆排序算法。

2.1 堆的介绍

如下图所以：

这就是一个堆，它可以被视为一个完全二叉树，每一个堆对应一个数组，堆中的元素按层次遍历存放在数组中。

下面定义一些术语：

length[A]表述数组中的元素个数。
heap-size[A]表示堆的元素个数。
同时这些元素是数组A的元素，所以heap-size[A]<=length[A]。
对于给定的某个结点的下标i，可以很容易的计算出这个结点的父结点、孩子结点的下标：

堆中每个父节点的元素值都大于等于其孩子结点（如果存在），这样的堆就是一个最大堆。

因此，最大堆中的最大元素值出现在根结点(堆顶)。

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由前面可知，堆可以看成一棵树，所以堆的高度，即为树的高度，O(lgn)。
所以，一般的操作运行时间都是为O(lgn)。

具体如下：
The MAX-HEAPIFY：O(lgn)  		//这是保持最大堆的关键.
The BUILD-MAX-HEAP:	线性时间。	//在无序输入数组基础上构造最大堆。
The HEAPSORT：					//O(nlgn) time, 堆排序算法是对一个数组原地进行排序.
The MAX-HEAP-INSERT, HEAP-EXTRACT-MAX, HEAP-INCREASE-KEY, HEAP-MAXIMUM：	//O(lgn)。

下面分别看一下这几个函数的操作。　

2.2 保持堆的性质的操作（O(logn)）

为了保持最大堆的性质，我们运用MAX-HEAPIFY操作，作调整，递归调用此操作，使i为根的子树成为最大堆。

MAX-HEAPIFY算法，如下所示（核心）：

MAX-HEAPIFY(A, i)
 1 l ← LEFT(i)
 2 r ← RIGHT(i)
 3 if l ≤ heap-size[A] and A[l] > A[i]
 4    then largest ← l
 5    else largest ← i
 6 if r ≤ heap-size[A] and A[r] > A[largest]
 7    then largest ← r
 8 if largest ≠ i
 9    then exchange A[i] <-> A[largest]
10         MAX-HEAPIFY(A, largest)

如上，首先第一步，在对应的数组元素A[i], 左孩子A[LEFT(i)], 和右孩子A[RIGHT(i)]中找到最大的那一个，将其下标存储在largest中。如果A[i]已经就是最大的元素，则程序直接结束。否则，i的某个子结点为最大的元素，将其，即A[largest]与A[i]交换，从而使i及其子女都能满足最大堆性质。下标largest所指的元素变成了A[i]的值，会违反最大堆性质，所以对largest所指元素调用MAX-HEAPIFY。如下，是此MAX-HEAPIFY的演示过程（下图是把4调整到最底层，一趟操作，但摸索的时间为LogN）：

　　

由上图，我们很容易看出，初始构造出一最大堆之后，在元素A[i]，即16，大于它的俩个子结点4、10，满足最大堆性质。所以，i下调指向着4,小于,左子14，所以，调用MAX-HEAPIFY，4与其子，14交换位置。但4处在了14原来的位置之后，4小于其右子8，又违反了最大堆的性质，所以再递归调用MAX-HEAPIFY，将4与8，交换位置。于是，满足了最大堆性质，程序结束。

MAX-HEAPIFY的运行时间

 MAX-HEAPIFY作用在一棵以结点i为根的、大小为n的子树上时，其运行时间为调整元素A[i]、A[LEFT(i)]，A[RIGHT(i)]的关系时所用时间为O(1)，再加上，对以i的某个子结点为根的子树调用MAX-HEAPIFY所需的时间，且i结点的子树大小至多为2n/3，所以，MAX-HEAPIFY的运行时间为
     T (n) ≤ T(2n/3) + Θ(1).

我们，可以证得此式子的递归解为T(n)=O(lgn)

2.3 建堆O(N)

BUILD-MAX-HEAP(A)
1  heap-size[A] ← length[A]
2  for i ← (length[A]/2) downto 1
3       do MAX-HEAPIFY(A, i)    //建堆，怎么建呢?原来就是不断的调用MAX-HEAPIFY(A, i)来建立最大堆。　　

BUILD-MAX-HEAP通过对每一个其它结点，都调用一次MAX-HEAPIFY，
来建立一个与数组A[1...n]相对应的最大堆。A[(|_n/2_|+1) ‥ n]中的元素都是树中的叶子。
因此，自然而然，每个结点，都可以看作一个只含一个元素的堆。

关于此过程BUILD-MAX-HEAP(A)的正确性，可参考算法导论 第6章之6.3节。
下图，是一个此过程的例子（下图是不断的调用MAX-HEAPIFY操作，把所有的违反堆性质的数都要调整，共N趟操作，然，摸索时间最终精确为O（N））：

　

三、堆排序算法

所谓的堆排序，就是调用上述俩个过程：一个建堆的操作、BUILD-MAX-HEAP，一个保持最大堆的操作、MAX-HEAPIFY。详细算法如下：

HEAPSORT(A)    //n-1次调用MAX-HEAPIFY，所以，O（n*lgn）
1 BUILD-MAX-HEAP(A)      //建最大堆，O（n）
2 for i ← length[A] downto 2
3    do exchange A[1] <-> A[i]
4       heap-size[A] ← heap-size[A] - 1
5       MAX-HEAPIFY(A, 1)    //保持堆的性质，O（lgn）

　　如上，即是堆排序算法的完整表述。下面，再贴一下上述堆排序算法中的俩个建堆、与保持最大堆操作：

BUILD-MAX-HEAP(A)  //建堆
1  heap-size[A] ← length[A]
2  for i ← |_length[A]/2_| downto 1
3       do MAX-HEAPIFY(A, i)

MAX-HEAPIFY(A, i)     //保持最大堆
 1 l ← LEFT(i)
 2 r ← RIGHT(i)
 3 if l ≤ heap-size[A] and A[l] > A[i]
 4    then largest ← l
 5    else largest ← i
 6 if r ≤ heap-size[A] and A[r] > A[largest]
 7    then largest ← r
 8 if largest ≠ i
 9    then exchange A[i] <-> A[largest]
10         MAX-HEAPIFY(A, largest) 

以下是，堆排序算法的演示过程（通过，顶端最大的元素与最后一个元素不断的交换，交换后又不断的调用MAX-HEAPIFY以重新维持最大堆的性质，最后，一个一个的，从大到小的，把堆中的所有元素都清理掉，也就形成了一个有序的序列。这就是堆排序的全部过程。）：

上图中，a->b，b->c，....之间，都有一个顶端最大元素与最小元素交换后，调用MAX-HEAPIFY的过程，我们知道，此MAX-HEAPIFY的运行时间为O（lgn），而要完成整个堆排序的过程，共要经过O（n）次这样的MAX-HEAPIFY操作。所以，才有堆排序算法的运行时间为O（n*lgn）。

后续：把堆想象成为一种树，二叉树之类的。所以，用堆做数据查找、删除的时间复杂度皆为O（logN）。 那么是一种什么样的二叉树列?一种特殊的二叉树，分为最大堆，最小堆。最大堆，就是上头大，下头小。最小堆就是上头小，下头大。