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  • 前缀、中缀、后缀表达式

     

    关键字：概念, 前缀表达式, 前缀记法, 中缀表达式, 中缀记法, 波兰式, 后缀表达式, 后缀记法, 逆波兰式


    它们都是对表达式的记法，因此也被称为前缀记法、中缀记法和后缀记法。它们之间的区别在于运算符相对与操作数的位置不同：前缀表达式的运算符位于与其相关的操作数之前；中缀和后缀同理。

    举例：
    (3 + 4) × 5 - 6 就是中缀表达式
    - × + 3 4 5 6 前缀表达式
    3 4 + 5 × 6 - 后缀表达式

    中缀表达式（中缀记法）
    中缀表达式是一种通用的算术或逻辑公式表示方法，操作符以中缀形式处于操作数的中间。中缀表达式是人们常用的算术表示方法。
    虽然人的大脑很容易理解与分析中缀表达式，但对计算机来说中缀表达式却是很复杂的，因此计算表达式的值时，通常需要先将中缀表达式转换为前缀或后缀表达式，然后再进行求值。对计算机来说，计算前缀或后缀表达式的值非常简单。

    前缀表达式（前缀记法、波兰式）
    前缀表达式的运算符位于操作数之前。

    前缀表达式的计算机求值：
    从右至左扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算（栈顶元素 op 次顶元素），并将结果入栈；重复上述过程直到表达式最左端，最后运算得出的值即为表达式的结果。
    例如前缀表达式“- × + 3 4 5 6”：
    (1) 从右至左扫描，将6、5、4、3压入堆栈；
    (2) 遇到+运算符，因此弹出3和4（3为栈顶元素，4为次顶元素，注意与后缀表达式做比较），计算出3+4的值，得7，再将7入栈；
    (3) 接下来是×运算符，因此弹出7和5，计算出7×5=35，将35入栈；
    (4) 最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果。
    可以看出，用计算机计算前缀表达式的值是很容易的。

    将中缀表达式转换为前缀表达式：
    遵循以下步骤：
    (1) 初始化两个栈：运算符栈S1和储存中间结果的栈S2；
    (2) 从右至左扫描中缀表达式；
    (3) 遇到操作数时，将其压入S2；
    (4) 遇到运算符时，比较其与S1栈顶运算符的优先级：
    (4-1) 如果S1为空，或栈顶运算符为右括号“)”，则直接将此运算符入栈；
    (4-2) 否则，若优先级比栈顶运算符的较高或相等，也将运算符压入S1；
    (4-3) 否则，将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中，再次转到(4-1)与S1中新的栈顶运算符相比较；
    (5) 遇到括号时：
    (5-1) 如果是右括号“)”，则直接压入S1；
    (5-2) 如果是左括号“(”，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到右括号为止，此时将这一对括号丢弃；
    (6) 重复步骤(2)至(5)，直到表达式的最左边；
    (7) 将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2；
    (8) 依次弹出S2中的元素并输出，结果即为中缀表达式对应的前缀表达式。
    例如，将中缀表达式“1+((2+3)×4)-5”转换为前缀表达式的过程如下：
    扫描到的元素 S2(栈底->栈顶) S1 (栈底->栈顶) 说明
    5 5 空 数字，直接入栈
    - 5 - S1为空，运算符直接入栈
    ) 5 - ) 右括号直接入栈
    4 5 4 - ) 数字直接入栈
    × 5 4 - ) × S1栈顶是右括号，直接入栈
    ) 5 4 - ) × ) 右括号直接入栈
    3 5 4 3 - ) × ) 数字
    + 5 4 3 - ) × ) + S1栈顶是右括号，直接入栈
    2 5 4 3 2 - ) × ) + 数字
    ( 5 4 3 2 + - ) × 左括号，弹出运算符直至遇到右括号
    ( 5 4 3 2 + × - 同上
    + 5 4 3 2 + × - + 优先级与-相同，入栈
    1 5 4 3 2 + × 1 - + 数字
    到达最左端 5 4 3 2 + × 1 + - 空 S1中剩余的运算符
    因此结果为“- + 1 × + 2 3 4 5”。

    后缀表达式（后缀记法、逆波兰式）
    后缀表达式与前缀表达式类似，只是运算符位于操作数之后。

    后缀表达式的计算机求值：
    与前缀表达式类似，只是顺序是从左至右：
    从左至右扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算（次顶元素 op 栈顶元素），并将结果入栈；重复上述过程直到表达式最右端，最后运算得出的值即为表达式的结果。
    例如后缀表达式“3 4 + 5 × 6 -”：
    (1) 从左至右扫描，将3和4压入堆栈；
    (2) 遇到+运算符，因此弹出4和3（4为栈顶元素，3为次顶元素，注意与前缀表达式做比较），计算出3+4的值，得7，再将7入栈；
    (3) 将5入栈；
    (4) 接下来是×运算符，因此弹出5和7，计算出7×5=35，将35入栈；
    (5) 将6入栈；
    (6) 最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果。

    将中缀表达式转换为后缀表达式：
    与转换为前缀表达式相似，遵循以下步骤：
    (1) 初始化两个栈：运算符栈S1和储存中间结果的栈S2；
    (2) 从左至右扫描中缀表达式；
    (3) 遇到操作数时，将其压入S2；
    (4) 遇到运算符时，比较其与S1栈顶运算符的优先级：
    (4-1) 如果S1为空，或栈顶运算符为左括号“(”，则直接将此运算符入栈；
    (4-2) 否则，若优先级比栈顶运算符的高，也将运算符压入S1（注意转换为前缀表达式时是优先级较高或相同，而这里则不包括相同的情况）；
    (4-3) 否则，将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中，再次转到(4-1)与S1中新的栈顶运算符相比较；
    (5) 遇到括号时：
    (5-1) 如果是左括号“(”，则直接压入S1；
    (5-2) 如果是右括号“)”，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到左括号为止，此时将这一对括号丢弃；
    (6) 重复步骤(2)至(5)，直到表达式的最右边；
    (7) 将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2；
    (8) 依次弹出S2中的元素并输出，结果的逆序即为中缀表达式对应的后缀表达式（转换为前缀表达式时不用逆序）。

    例如，将中缀表达式“1+((2+3)×4)-5”转换为后缀表达式的过程如下：
    扫描到的元素 S2(栈底->栈顶) S1 (栈底->栈顶) 说明
    1 1 空 数字，直接入栈
    + 1 + S1为空，运算符直接入栈
    ( 1 + ( 左括号，直接入栈
    ( 1 + ( ( 同上
    2 1 2 + ( ( 数字
    + 1 2 + ( ( + S1栈顶为左括号，运算符直接入栈
    3 1 2 3 + ( ( + 数字
    ) 1 2 3 + + ( 右括号，弹出运算符直至遇到左括号
    × 1 2 3 + + ( × S1栈顶为左括号，运算符直接入栈
    4 1 2 3 + 4 + ( × 数字
    ) 1 2 3 + 4 × + 右括号，弹出运算符直至遇到左括号
    - 1 2 3 + 4 × + - -与+优先级相同，因此弹出+，再压入-
    5 1 2 3 + 4 × + 5 - 数字
    到达最右端 1 2 3 + 4 × + 5 - 空 S1中剩余的运算符

    因此结果为“1 2 3 + 4 × + 5 -”（注意需要逆序输出）。

    编写Java程序将一个中缀表达式转换为前缀表达式和后缀表达式，并计算表达式的值。其中的toPolishNotation()方法将中缀表达式转换为前缀表达式（波兰式）、toReversePolishNotation()方法则用于将中缀表达式转换为后缀表达式（逆波兰式）：

    注：
    (1) 程序很长且注释比较少，但如果将上面的理论内容弄懂之后再将程序编译并运行起来，还是比较容易理解的。有耐心的话可以研究一下。(2) 此程序是笔者为了说明上述概念而编写，仅做了简单的测试，不保证其中没有Bug，因此不要将其用于除研究之外的其他场合。

     
    [java] view plain copy
     
    1. package qmk.simple_test;  
    2. import java.util.Scanner;  
    3. import java.util.Stack;  
    4. /** 
    5.  * Example of converting an infix-expression to 
    6.  * Polish Notation (PN) or Reverse Polish Notation (RPN). 
    7.  * Written in 2011-8-25 
    8.  * @author QiaoMingkui 
    9.  */  
    10. public class Calculator {  
    11.       public static final String USAGE = "== usage == "  
    12.             + "input the expressions, and then the program "  
    13.             + "will calculate them and show the result. "  
    14.             + "input 'bye' to exit. ";  
    15.       /** 
    16.        * @param args 
    17.        */  
    18.       public static void main(String[] args) {  
    19.             System.out.println(USAGE);  
    20.             Scanner scanner = new Scanner(System.in);  
    21.             String input = "";  
    22.             final String CLOSE_MARK = "bye";  
    23.             System.out.println("input an expression:");  
    24.             input = scanner.nextLine();  
    25.             while (input.length() != 0  
    26.                   && !CLOSE_MARK.equals((input))) {  
    27.                   System.out.print("Polish Notation (PN):");  
    28.                   try {  
    29.                         toPolishNotation(input);  
    30.                   } catch (NumberFormatException e) {  
    31.                         System.out.println(" input error, not a number.");  
    32.                   } catch (IllegalArgumentException e) {  
    33.                         System.out.println(" input error:" + e.getMessage());  
    34.                   } catch (Exception e) {  
    35.                         System.out.println(" input error, invalid expression.");  
    36.                   }  
    37.                   System.out.print("Reverse Polish Notation (RPN):");  
    38.                   try {  
    39.                         toReversePolishNotation(input);  
    40.                   } catch (NumberFormatException e) {  
    41.                         System.out.println(" input error, not a number.");  
    42.                   } catch (IllegalArgumentException e) {  
    43.                         System.out.println(" input error:" + e.getMessage());  
    44.                   } catch (Exception e) {  
    45.                         System.out.println(" input error, invalid expression.");  
    46.                   }  
    47.                   System.out.println("input a new expression:");  
    48.                   input = scanner.nextLine();  
    49.             }  
    50.             System.out.println("program exits");  
    51.       }  
    52.       /** 
    53.        * parse the expression , and calculate it. 
    54.        * @param input 
    55.        * @throws IllegalArgumentException 
    56.        * @throws NumberFormatException 
    57.        */  
    58.       private static void toPolishNotation(String input)  
    59.                   throws IllegalArgumentException, NumberFormatException {  
    60.             int len = input.length();  
    61.             char c, tempChar;  
    62.             Stack<Character> s1 = new Stack<Character>();  
    63.             Stack<Double> s2 = new Stack<Double>();  
    64.             Stack<Object> expression = new Stack<Object>();  
    65.             double number;  
    66.             int lastIndex = -1;  
    67.             for (int i=len-1; i>=0; --i) {  
    68.                   c = input.charAt(i);  
    69.                   if (Character.isDigit(c)) {  
    70.                         lastIndex = readDoubleReverse(input, i);  
    71.                         number = Double.parseDouble(input.substring(lastIndex, i+1));  
    72.                         s2.push(number);  
    73.                         i = lastIndex;  
    74.                         if ((int) number == number)  
    75.                               expression.push((int) number);  
    76.                         else  
    77.                               expression.push(number);  
    78.                   } else if (isOperator(c)) {  
    79.                         while (!s1.isEmpty()  
    80.                                     && s1.peek() != ')'  
    81.                                     && priorityCompare(c, s1.peek()) < 0) {  
    82.                               expression.push(s1.peek());  
    83.                               s2.push(calc(s2.pop(), s2.pop(), s1.pop()));  
    84.                         }  
    85.                         s1.push(c);  
    86.                   } else if (c == ')') {  
    87.                         s1.push(c);  
    88.                   } else if (c == '(') {  
    89.                         while ((tempChar=s1.pop()) != ')') {  
    90.                               expression.push(tempChar);  
    91.                               s2.push(calc(s2.pop(), s2.pop(), tempChar));  
    92.                               if (s1.isEmpty()) {  
    93.                                     throw new IllegalArgumentException(  
    94.                                           "bracket dosen't match, missing right bracket ')'.");  
    95.                               }  
    96.                         }  
    97.                   } else if (c == ' ') {  
    98.                         // ignore  
    99.                   } else {  
    100.                         throw new IllegalArgumentException(  
    101.                                     "wrong character '" + c + "'");  
    102.                   }  
    103.             }  
    104.             while (!s1.isEmpty()) {  
    105.                   tempChar = s1.pop();  
    106.                   expression.push(tempChar);  
    107.                   s2.push(calc(s2.pop(), s2.pop(), tempChar));  
    108.             }  
    109.             while (!expression.isEmpty()) {  
    110.                   System.out.print(expression.pop() + " ");  
    111.             }  
    112.             double result = s2.pop();  
    113.             if (!s2.isEmpty())  
    114.                   throw new IllegalArgumentException("input is a wrong expression.");  
    115.             System.out.println();  
    116.             if ((int) result == result)  
    117.                   System.out.println("the result is " + (int) result);  
    118.             else  
    119.                   System.out.println("the result is " + result);  
    120.       }  
    121.       /** 
    122.        * parse the expression, and calculate it. 
    123.        * @param input 
    124.        * @throws IllegalArgumentException 
    125.        * @throws NumberFormatException 
    126.        */  
    127.       private static void toReversePolishNotation(String input)  
    128.                   throws IllegalArgumentException, NumberFormatException {  
    129.             int len = input.length();  
    130.             char c, tempChar;  
    131.             Stack<Character> s1 = new Stack<Character>();  
    132.             Stack<Double> s2 = new Stack<Double>();  
    133.             double number;  
    134.             int lastIndex = -1;  
    135.             for (int i=0; i<len; ++i) {  
    136.                   c = input.charAt(i);  
    137.                   if (Character.isDigit(c) || c == '.') {  
    138.                         lastIndex = readDouble(input, i);  
    139.                         number = Double.parseDouble(input.substring(i, lastIndex));  
    140.                         s2.push(number);  
    141.                         i = lastIndex - 1;  
    142.                         if ((int) number == number)  
    143.                               System.out.print((int) number + " ");  
    144.                         else  
    145.                               System.out.print(number + " ");  
    146.                   } else if (isOperator(c)) {  
    147.                         while (!s1.isEmpty()  
    148.                                     && s1.peek() != '('  
    149.                                     && priorityCompare(c, s1.peek()) <= 0) {  
    150.                               System.out.print(s1.peek() + " ");  
    151.                               double num1 = s2.pop();  
    152.                               double num2 = s2.pop();  
    153.                               s2.push(calc(num2, num1, s1.pop()));  
    154.                         }  
    155.                         s1.push(c);  
    156.                   } else if (c == '(') {  
    157.                         s1.push(c);  
    158.                   } else if (c == ')') {  
    159.                         while ((tempChar=s1.pop()) != '(') {  
    160.                               System.out.print(tempChar + " ");  
    161.                               double num1 = s2.pop();  
    162.                               double num2 = s2.pop();  
    163.                               s2.push(calc(num2, num1, tempChar));  
    164.                               if (s1.isEmpty()) {  
    165.                                     throw new IllegalArgumentException(  
    166.                                           "bracket dosen't match, missing left bracket '('.");  
    167.                               }  
    168.                         }  
    169.                   } else if (c == ' ') {  
    170.                         // ignore  
    171.                   } else {  
    172.                         throw new IllegalArgumentException(  
    173.                                     "wrong character '" + c + "'");  
    174.                   }  
    175.             }  
    176.             while (!s1.isEmpty()) {  
    177.                   tempChar = s1.pop();  
    178.                   System.out.print(tempChar + " ");  
    179.                   double num1 = s2.pop();  
    180.                   double num2 = s2.pop();  
    181.                   s2.push(calc(num2, num1, tempChar));  
    182.             }  
    183.             double result = s2.pop();  
    184.             if (!s2.isEmpty())  
    185.                   throw new IllegalArgumentException("input is a wrong expression.");  
    186.             System.out.println();  
    187.             if ((int) result == result)  
    188.                   System.out.println("the result is " + (int) result);  
    189.             else  
    190.                   System.out.println("the result is " + result);  
    191.       }  
    192.       /** 
    193.        * calculate the two number with the operation. 
    194.        * @param num1 
    195.        * @param num2 
    196.        * @param op 
    197.        * @return 
    198.        * @throws IllegalArgumentException 
    199.        */  
    200.       private static double calc(double num1, double num2, char op)  
    201.                   throws IllegalArgumentException {  
    202.             switch (op) {  
    203.             case '+':  
    204.                   return num1 + num2;  
    205.             case '-':  
    206.                   return num1 - num2;  
    207.             case '*':  
    208.                   return num1 * num2;  
    209.             case '/':  
    210.                   if (num2 == 0) throw new IllegalArgumentException("divisor can't be 0.");  
    211.                   return num1 / num2;  
    212.             default:  
    213.                   return 0; // will never catch up here  
    214.             }  
    215.       }  
    216.       /** 
    217.        * compare the two operations' priority. 
    218.        * @param c 
    219.        * @param peek 
    220.        * @return 
    221.        */  
    222.       private static int priorityCompare(char op1, char op2) {  
    223.             switch (op1) {  
    224.             case '+': case '-':  
    225.                   return (op2 == '*' || op2 == '/' ? -1 : 0);  
    226.             case '*': case '/':  
    227.                   return (op2 == '+' || op2 == '-' ? 1 : 0);  
    228.             }  
    229.             return 1;  
    230.       }  
    231.       /** 
    232.        * read the next number (reverse) 
    233.        * @param input 
    234.        * @param start 
    235.        * @return 
    236.        * @throws IllegalArgumentException 
    237.        */  
    238.       private static int readDoubleReverse(String input, int start)  
    239.                   throws IllegalArgumentException {  
    240.             int dotIndex = -1;  
    241.             char c;  
    242.             for (int i=start; i>=0; --i) {  
    243.                   c = input.charAt(i);  
    244.                   if (c == '.') {  
    245.                         if (dotIndex != -1)  
    246.                               throw new IllegalArgumentException(  
    247.                                     "there have more than 1 dots in the number.");  
    248.                         else  
    249.                               dotIndex = i;  
    250.                   } else if (!Character.isDigit(c)) {  
    251.                         return i + 1;  
    252.                   } else if (i == 0) {  
    253.                         return 0;  
    254.                   }  
    255.             }  
    256.             throw new IllegalArgumentException("not a number.");  
    257.       }  
    258.         
    259.       /** 
    260.        * read the next number 
    261.        * @param input 
    262.        * @param start 
    263.        * @return 
    264.        * @throws IllegalArgumentException 
    265.        */  
    266.       private static int readDouble(String input, int start)  
    267.       throws IllegalArgumentException {  
    268.             int len = input.length();  
    269.             int dotIndex = -1;  
    270.             char c;  
    271.             for (int i=start; i<len; ++i) {  
    272.                   c = input.charAt(i);  
    273.                   if (c == '.') {  
    274.                         if (dotIndex != -1)  
    275.                               throw new IllegalArgumentException(  
    276.                               "there have more than 1 dots in the number.");  
    277.                         else if (i == len - 1)  
    278.                               throw new IllegalArgumentException(  
    279.                               "not a number, dot can't be the last part of a number.");  
    280.                         else  
    281.                               dotIndex = i;  
    282.                   } else if (!Character.isDigit(c)) {  
    283.                         if (dotIndex == -1 || i - dotIndex > 1)  
    284.                               return i;  
    285.                         else  
    286.                               throw new IllegalArgumentException(  
    287.                               "not a number, dot can't be the last part of a number.");  
    288.                   } else if (i == len - 1) {  
    289.                         return len;  
    290.                   }  
    291.             }  
    292.               
    293.             throw new IllegalArgumentException("not a number.");  
    294.       }  
    295.       /** 
    296.        * return true if the character is an operator. 
    297.        * @param c 
    298.        * @return 
    299.        */  
    300.       private static boolean isOperator(char c) {  
    301.             return (c=='+' || c=='-' || c=='*' || c=='/');  
    302.       }  
    303. }  
    下面是程序运行结果（绿色为用户输入）：

    == usage ==
    input the expressions, and then the program will calculate them and show the result.
    input 'bye' to exit.

    input an expression:
    3.8+5.3
    Polish Notation (PN):+ 3.8 5.3
    the result is 9.1
    Reverse Polish Notation (RPN):3.8 5.3 +
    the result is 9.1
    input a new expression:
    5*(9.1+3.2)/(1-5+4.88)
    Polish Notation (PN):/ * 5 + 9.1 3.2 + - 1 5 4.88
    the result is 69.88636363636364
    Reverse Polish Notation (RPN):5 9.1 3.2 + * 1 5 - 4.88 + /
    the result is 69.88636363636364
    input a new expression:
    1+((2+3)*4)-5
    Polish Notation (PN):- + 1 * + 2 3 4 5
    the result is 16
    Reverse Polish Notation (RPN):1 2 3 + 4 * + 5 -
    the result is 16
    input a new expression:
    bye
    program exits
     
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  • 原文地址：https://www.cnblogs.com/sthinker/p/7711643.html
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