coin collector（一道测试题）

题目（后面有中文大意）

Our dear Sultan is visiting a country where there are n different types of coin. He wants to collect as many different types of coin as you can. Now if he wants to withdraw X amount of money from a Bank, the Bank will give him this money using following algorithm.

withdraw(X){

if( X == 0) return;

Let Y be the highest valued coin that does not exceed X.

Give the customer Y valued coin.

withdraw(X-Y);

}

Now Sultan can withdraw any amount of money from the Bank. He should maximize the number of different coins that he can collect in a single withdrawal.

Input:

First line of the input contains T the number of test cases. Each of the test cases starts with n (1≤n≤1000), the number of different types of coin. Next line contains n integers C1, C2, … , Cn the value of each coin type. C1< C2< C3< … < Cn<1000000000. C1 equals to 1.

Output:

For each test case output one line denoting the maximum number of coins that Sultan can collect in a single withdrawal. He can withdraw infinite amount of money from the Bank.

Sample Input

2

6

1 2 4 8 16 32

6

1 3 6 8 15 20

Sample Output

6

4

题目大意

你要从银行取价值X的钱，有n种不同的硬币，银行给钱时会执行一个递归程序：
取钱（X）{
if（X==0）return；
给你<=X的最大硬币Y;
取钱（X-Y）;
}
你的目的是要取得硬币种类尽可能多，输入n（1<=n<=1000），和每种硬币的面值，输出最大种类数。

题解

思路：贪心
首先，假设从1到i被选中的硬币的和是sum[i]，第i个硬币的值是a[i]，那么当sum[i]< a[i+1]的时候，就可以在保持原来选的同时，选上第i+1个。（证明：假设sum[i]>=a[i+1]，那么要选，一开始的数字就是sum[i]，而sum[i]>=a[i+1]，那么就可以选一次i+1，然后剩下的数字就不够sum[i]了，无法选够原来的了，此时假设不成立，即sum[i]< a[j]）
由上述规律即可推出可以选一个数字i的两个条件：1.sum[i-1]< a[i]；2.sum[i] (=sum[i-1]+a[i])< a[i+1]；满足上述条件的情况下，就可以选这个数字了。
还有，一定要选第一个和最后一个（一样可以用反证法证明）
Then，注意要特判2以下的情况。
最后还有一点小优化：这个递推过程是单向且线性的，那么sum数组就可以简单地用一个sum变量来代替了（不过说实话没什么大用）
代码请参见文尾。

---

说点儿题外话：我一开始想到的确实是这个思路，可是马上被推翻了，因为按以往经验普及最后一道题总是特别难，不可能这么简单，于是想了一个dp+二分查找，才算觉得够难度了，可是，结果10分，我的内心是崩溃的O_O，惨痛的教训就是永远不要想当然，也不要相信样例（我就是这个算法过了样例）

---

还有，如果你是初一或初二，那么好好学oi吧，不要来机房混日子（我看见考试时有好几个人玩三维弹球，蜘蛛纸牌），来混日子还不如回去学文化课，还不如早日AFO（Away From OI）。不过，我还是认为这个行业是很有出路的。
如果要学OI的话，就利用好寒假和暑假，平常缓慢学习，积累经验，假期做出质的突破。
还有，不能眼高手低，不能遇难而退，不能半途而废。
最后，祝好好学习OI的人取得NOIP普及组一等奖（看看你们有几个，当年就我一个）

---

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int t,n,a[1005];

int main(){
    //建议你们用scanf和printf，会快很多
    scanf("%d",&t);
    for(int i=1;i<=t;i++){
        scanf("%d",&n);
        for(int j=1;j<=n;j++){
            scanf("%d",&a[j]);
        }
        if(n<=2){//要特判2以下的情况
            printf("%d
",n);
            continue;
        } 
        int sum=a[1];
        int cnt=2;//Ñ¡µÚÒ»¸öºÍ×îºóÒ»¸ö 
        for(int i=2;i<=n-1;i++){
            if(sum<a[i]&&sum+a[i]<a[i+1]){
                sum+=a[i];
                cnt++;
            }
        }
        printf("%d
",cnt);
    }
    return 0;
}