【洛谷P2568】GCD

题目

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P2568
给定整数\(N\)，求\(1\leq x,y\leq N\)且\(Gcd(x,y)\)为素数的数对\((x,y)\)有多少对。

思路

考虑枚举质数\(p\)，那么对于每一个质数\(p\)，\(x,y\in[1,n]\)且\(\gcd(x,y)=p\)的方案数就是\(x,y\in[1,\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor]\)且\(\gcd(x,y)=1\)的方案数。
考虑到\(1\leq x\leq y\leq n\)且\(\gcd(x,y)=1\)的方案数为\(\sum^{\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor}_{i=1}\varphi(i)\)，而如果没有\(x\leq y\)这个限制，方案数就是\(2\sum^{\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor}_{i=1}\varphi(i)-[i=j,\gcd(i,j)=1]\)。显然后者只有\(i=j=1\)一种情况，所以\(1\leq x,y\leq n\)且\(\gcd(x,y)=p\)的方案数是\(2\sum^{\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor}_{i=1}\varphi(i)\)。
筛出\(1\sim n\)的质数顺便求\(\varphi\)，然后对\(\varphi\)做前缀和，这样对于每一个质数\(p\)就可以\(O(1)\)求答案。
最终答案为

\[\sum_{p\in \operatorname{prime}}((2\sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor}\varphi[i])-1) \]

时间复杂度\(O(n)\)

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N=10000010;
int n,m,v[N],prime[N],phi[N];
ll ans,sum[N];

void find_prime(int n)
{
	phi[1]=1;
	for (int i=2;i<=n;i++)
	{
		if (!v[i]) v[i]=i,prime[++m]=i,phi[i]=i-1;
		for (int j=1;j<=m;j++)
		{
			if (prime[j]>v[i] || 1LL*prime[j]*i>n) break;
			v[i*prime[j]]=prime[j];
			if (i%prime[j]) phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
				else phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
		}
	}
	for (int i=1;i<=n;i++)
		sum[i]=sum[i-1]+phi[i];
}

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	find_prime(n);
	for (int i=1;i<=m;i++)
		ans+=2*sum[n/prime[i]]-1;
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}