题目
题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P4213
给定一个正整数 (n)，求
[ans_1=sum_{i=1}^nvarphi(i)
]
[ans_2=sum_{i=1}^n mu(i)
]
思路
杜教筛可以在 (O(n^{frac{2}{3}})) 复杂度内求出积性函数的前缀和。
我们设两个积性函数 (f,g)，定义 (*) 运算为狄利克雷卷积，那么
[(f*g)(n)=sum_{d|n}f(d)g(frac{n}{d})
]
那么如果我们要求积性函数 (f) 的前缀和，可以先找到一个合适的积性函数 (g)，那么
[sum^{n}_{i=1}(f*g)(i)=sum^{n}_{i=1}sum_{d|i}f(d)g(frac{i}{d})
]
[=sum^{n}_{i=1}g(i)·sum^{lfloorfrac{n}{i}
floor}_{d=1}f(d)
]
令 (S(n)=sum^{n}_{i=1}f(i))，则
[=sum^{n}_{i=1}g(i)·S(lfloorfrac{n}{i}
floor)
]
那么有
[S(n)g(1)=sum^{n}_{i=1}g(i)·S(lfloorfrac{n}{i}
floor)-sum^{n}_{i=2}g(i)·S(lfloorfrac{n}{i}
floor)
]
因为积性函数 (g(1)=1)，所以
[S(n)=sum^{n}_{i=1}(f*g)(i)-sum^{n}_{i=2}g(i)·S(lfloorfrac{n}{i}
floor)
]
如果找到合适的 (g)，让我们可以快速得出 (sum^{n}_{i=1}(f*g)(i)) 和 (sum^{n}_{i=2}g(i))，就可以计算 (S(n)) 了。
回到本题，如果要求 (mu) 的前缀和，因为 (mu*I=varepsilon)，其中 (I(n)=1,varepsilon(n)=[n=1])，恰好两个的前缀和十分容易计算。所以我们取 (g=I)，((f*g)=varepsilon) 即可。
如果要求 (varphi) 的前缀和，因为 (varphi*I=mathrm{id})，其中 (mathrm{id}(n)=n)，且计算 (mathrm{id}) 的前缀和直接等差数列求和，所以去 (g=I)，((f*g)=mathrm{id}) 即可。
预处理出前 (n^{frac{2}{3}}) 的前缀和，可以将时间复杂度降至 (O(n^{frac{2}{3}}))。太菜了看不懂证明。
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e7+10;
int Q,n,m,prm[N],mu[N];
ll phi[N];
bool v[N];
map<int,ll> sphi,smu;
void findprm(int n)
{
mu[1]=1; phi[1]=1;
for (int i=2;i<=n;i++)
{
if (!v[i]) prm[++m]=i,mu[i]=-1,phi[i]=i-1;
for (int j=1;j<=m;j++)
{
if (i>n/prm[j]) break;
v[i*prm[j]]=1; mu[i*prm[j]]=-mu[i];
if (i%prm[j]==0)
{
mu[i*prm[j]]=0; phi[i*prm[j]]=phi[i]*prm[j];
break;
}
phi[i*prm[j]]=phi[i]*(prm[j]-1);
}
}
}
ll sumphi(int n)
{
if (n<N) return phi[n];
if (sphi[n]) return sphi[n];
ll res=(1LL+n)*n/2;
for (ll l=2,r;l<=n;l=r+1)
{
r=n/(n/l);
res-=sumphi(n/l)*(r-l+1);
}
return sphi[n]=res;
}
ll summu(int n)
{
if (n<N) return mu[n];
if (smu[n]) return smu[n];
ll res=1;
for (ll l=2,r;l<=n;l=r+1)
{
r=n/(n/l);
res-=summu(n/l)*(r-l+1);
}
return smu[n]=res;
}
int main()
{
findprm(N-1);
for (int i=1;i<N;i++)
phi[i]+=phi[i-1],mu[i]+=mu[i-1];
scanf("%d",&Q);
while (Q--)
{
scanf("%d",&n);
printf("%lld %lld
",sumphi(n),summu(n));
}
return 0;
}