题目
题目链接:https://darkbzoj.tk/problem/4176
定义 (f(x)) 表示 (x) 的约数个数,给出 (n),求
[left(sum^{n}_{i=1}sum^{n}_{j=1}f(ij)
ight)mod 1000000007
]
(nleq 10^9)。
思路
有 (f(ij)=sum^{n}_{y|j}sum^{}_{x|i}[gcd(x,y)=1]),所以
[=sum^{n}_{i=1}sum^{n}_{j=1}f(ij)
]
[=sum^{n}_{i=1}sum^{n}_{j=1}sum_{x|i}sum_{y|j}[gcd(x,y)=1]
]
[=sum^{n}_{i=1}sum^{n}_{j=1}sum_{x|i}sum_{y|j}sum_{d|gcd(x,y)}mu(d)
]
套路性把 (mu(d)) 扔到前面,
[=sum^{n}_{d=1}mu(d)sum_{d|x}sum^{}_{d|y}sum_{x|i}sum_{y|j}1
]
[=sum^{n}_{d=1}mu(d)(sum_{d|i}lfloorfrac{n}{i}
floor)^2
]
[=sum^{n}_{d=1}mu(d)(sum^{lfloorfrac{n}{d}
floor}_{i=1}lfloorfrac{n}{di}
floor)^2
]
后面的一堆是可以整除分块的,然后前面就杜教筛筛 (mu) 的前缀和即可。
代码
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=1e7,MOD=1000000007;
int n,m,ans,mu[N],prm[N];
bool v[N];
map<int,int> smu;
void findprm(int n)
{
mu[1]=1;
for (int i=2;i<=n;i++)
{
if (!v[i]) prm[++m]=i,mu[i]=-1;
for (int j=1;j<=m;j++)
{
if (i>n/prm[j]) break;
v[i*prm[j]]=1; mu[i*prm[j]]=-mu[i];
if (i%prm[j]==0)
{
mu[i*prm[j]]=0;
break;
}
}
}
}
int calc(int n)
{
int res=0;
for (int l=1,r;l<=n;l=r+1)
{
r=n/(n/l);
res=(res+1LL*n/l*(r-l+1))%MOD;
}
return 1LL*res*res%MOD;
}
int summu(int n)
{
if (n<N) return mu[n];
if (smu[n]) return smu[n];
int res=1;
for (int l=2,r;l<=n;l=r+1)
{
r=n/(n/l);
res=(res-1LL*summu(n/l)*(r-l+1))%MOD;
}
return smu[n]=res;
}
signed main()
{
findprm(N-1);
for (int i=1;i<N;i++)
mu[i]+=mu[i-1];
scanf("%lld",&n);
for (int l=1,r;l<=n;l=r+1)
{
r=n/(n/l);
ans=(ans+1LL*(summu(r)-summu(l-1))*calc(n/l));
}
printf("%lld",(ans%MOD+MOD)%MOD);
return 0;
}