【洛谷P5470】序列

题目

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P5470
给定两个长度为 (n) 的正整数序列 ({a_i}) 与 ({b_i})，序列的下标为 (1, 2, cdots , n)。现在你需要分别对两个序列各指定恰好 (K) 个下标，要求至少有 (L) 个下标在两个序列中都被指定，使得这 (2K) 个下标在序列中对应的元素的总和最大。
形式化地说，你需要确定两个长度为 (K) 的序列 ({c_i}, {d_i})，其中 (1 leq c_1 < c_2 <cdots <c_K leq n , 1 leq d_1< d_2 < cdots< d_K leq n)，并要求 ({c_1, c_2, cdots , c_K} cap {d_1, d_2, · · · , d_K}geq L)。
目标是最大化 (sum^{K}_{i=1} a_{c_i} +sum^{K}_{i=1} b_{d_i})。
(Qleq 10;nleq 2 imes 10^5;sum nleq 10^6)。

思路

考虑一个费用流模型：

我们只需要求出流量为 (K) 的时候的最小费用即可。
采用 SPFA 找增广路即可做到 (O(n^2K))。

我们称 (a_i) 和 (b_j(i eq j)) 匹配为自由匹配，(a_i) 和 (b_i) 匹配为限制匹配。记 (cnt) 为剩余能自由匹配的次数，初始 (cnt=K-L)。
考虑模拟费用流：

• 如果 (cnt>0)，显然此时进行自由匹配最优。取 (a) 中没有被匹配的最大值和 (b) 中没有被匹配的最大值匹配即可。
• 如果 (cnt=0)，此时有以下三种匹配方式：
  • 直接进行一次限制匹配，选择最大的 (a_i+b_i) 且 (a_i,b_i) 之前都没有匹配过的 (i) 进行匹配。
  • 对于原来的一个匹配 ((a_i,b_j))，且 (b_i) 没有匹配，那么选择一个最大的 (a_k) 且 (a_k) 没有匹配，然后取消 ((a_i,b_j)) 这对匹配，增加 ((a_i,b_i),(a_k,b_j)) 这对匹配。
  • 对于原来的一个匹配 ((a_j,b_i))，且 (a_i) 没有匹配，那么选择一个最大的 (b_k) 且 (b_k) 没有匹配，然后取消 ((a_j,b_i)) 这对匹配，增加 ((a_i,b_i),(a_j,b_k)) 这对匹配。

显然当 (cnt=0) 时，三中策略都不会使得 (cnt) 减小。选择三中策略中贡献最大的即可。因为模拟费用流中退流类似一个反悔贪心，只需要关心局部最优解即可。
具体的话，我们维护五个堆 (qa,qb,qc,pa,pb)，分别表示 (a) 没被匹配的最大值；(b) 没被匹配的最大值；(a_i,b_i) 都没被匹配时 (a_i+b_i) 的最大值；(b_i) 被匹配，(a_i) 没被匹配时 (a_i) 的最大值；(a_i) 被匹配，(b_i) 没被匹配时 (b_i) 的最大值。
再维护 (ma[i],mb[i]) 表示 (a_i) 匹配的对象的下标；(b_i) 匹配的对象的下标。
当我们进行一次操作之后，需要分别维护好五个堆，两个数组以及 (cnt)。其实不难发现 (qa,qb,qc) 都不会增加元素，所以只需要考虑 (pa,pb) 增加元素的情况。

接下来就是一些细节了：

• (cnt>0) 时，如果选出的两个下标相等，那么不需要将 (cnt) 减一，当做限制匹配即可。
• (cnt=0) 时，策略 (2,3) 可能导致 (cnt) 加一。具体的，当 (j=k) 的时候相当于原先一组自由匹配变成了两组限制匹配，此时 (cnt) 需要加一。
• 当我们进行一次自由匹配时，需要注意这对自由匹配是否可以和另一对自由匹配交换匹配元素，形成一对自由匹配和一对限制匹配。也就是如果这次匹配了 ((a_i,b_j))，则需要查看是否有 ((a_k,b_i)) 或者 ((a_j,b_k)) 这组匹配。如果有，那么可以叫互相交换匹配的一个元素让 (cnt) 加 (1)。
• 在上一点的前提下，交换了匹配后也有可能形成两对限制匹配，此时 (cnt) 应该加 (2) 而非加 (1)。

理清楚逻辑其实写起来十分简单。
时间复杂度 (O(nlog n))。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define mp make_pair
#define st first
#define nd second
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N=200010;
int Q,n,L,K,cnt,a[N],b[N],ma[N],mb[N];
ll ans;
priority_queue<pair<int,int> > qa,qb,qc,pa,pb;

int read()
{
	int d=0; char ch=getchar();
	while (!isdigit(ch)) ch=getchar();
	while (isdigit(ch)) d=(d<<3)+(d<<1)+ch-48,ch=getchar();
	return d;
}

void prework()
{
	ans=0;
	memset(ma,0,sizeof(ma));
	memset(mb,0,sizeof(mb));
	while (qa.size()) qa.pop();
	while (qb.size()) qb.pop();
	while (qc.size()) qc.pop();
	while (pa.size()) pa.pop();
	while (pb.size()) pb.pop();
}

void check(int i)
{
	if (!ma[i] || !mb[i] || ma[i]==i) return;
	if (ma[i]==mb[i]) cnt++;
	mb[ma[i]]=mb[i]; ma[mb[i]]=ma[i];
	ma[i]=mb[i]=i; cnt++;
}

void solve0()
{
	while (ma[qa.top().nd]) qa.pop();
	while (mb[qb.top().nd]) qb.pop();
	int i=qa.top().nd,j=qb.top().nd;
	qa.pop(); qb.pop();
	ma[i]=j; mb[j]=i;
	ans+=a[i]+b[j]; cnt-=(i!=j);
	if (!mb[i]) pb.push(mp(b[i],i));
	if (!ma[j]) pa.push(mp(a[j],j));
	check(i); check(j);
}

int solve1()
{
	while (qc.size() && (ma[qc.top().nd] || mb[qc.top().nd])) qc.pop();
	if (qc.size()) return qc.top().st;
	return -1;
}

int solve2()
{
	while (qa.size() && ma[qa.top().nd]) qa.pop();
	while (pb.size() && mb[pb.top().nd]) pb.pop();
	if (qa.size() && pb.size())
		return qa.top().st+pb.top().st;
	return -1;
}

int solve3()
{
	while (qb.size() && mb[qb.top().nd]) qb.pop();
	while (pa.size() && ma[pa.top().nd]) pa.pop();
	if (qb.size() && pa.size())
		return qb.top().st+pa.top().st;
	return -1;
}

void upd1()
{
	int i=qc.top().nd; qc.pop();
	ma[i]=mb[i]=i; ans+=a[i]+b[i];
}

void upd2()
{
	int i=qa.top().nd,j=pb.top().nd,k=ma[j];
	qa.pop(); pb.pop();
	ma[j]=mb[j]=j; ma[i]=k; mb[k]=i;
	cnt+=(i==k); ans+=b[j]+a[i];
	if (!mb[i]) pb.push(mp(b[i],i));
	check(i); check(k);
}

void upd3()
{
	int i=qb.top().nd,j=pa.top().nd,k=mb[j];
	qb.pop(); pa.pop();
	ma[j]=mb[j]=j; mb[i]=k; ma[k]=i;
	cnt+=(i==k); ans+=a[j]+b[i];
	if (!ma[i]) pa.push(mp(a[i],i));
	check(i); check(k);
}

int main()
{
	Q=read();
	while (Q--)
	{
		prework();
		n=read(); K=read(); L=read();
		for (int i=1;i<=n;i++) a[i]=read(),qa.push(mp(a[i],i));
		for (int i=1;i<=n;i++) b[i]=read(),qb.push(mp(b[i],i));
		for (int i=1;i<=n;i++) qc.push(mp(a[i]+b[i],i));
		cnt=K-L;
		while (K--)
		{
			if (cnt) { solve0(); continue; }
			int v1=solve1(),v2=solve2(),v3=solve3();
			if (v1>=max(v2,v3)) { upd1(); continue; }
			if (v2>=max(v1,v3)) { upd2(); continue; }
			if (v3>=max(v1,v2)) { upd3(); continue; }
		}
		cout<<ans<<"
";
	}
	return 0;
}