【洛谷P7599】雨林跳跃

题目

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P7599
在苏门答腊岛的热带雨林中，有 (N) 棵树排成一排，从左到右依次用 (0) 到 (N-1) 进行编号，其中 (i) 号树的高度为 (H[i])，且所有树的高度互不相同。
Pak Dengklek 正在训练一只猩猩，让她能够从一棵树上跳到另一棵树上。对于一次跳跃，猩猩可以从一棵树，向左或向右跳到比当前这棵树高的第一棵树上。形式化地，如果猩猩当前在 (x) 号树，那么当且仅当满足下列条件之一时，她能够跳到 (y) 号树上：

• (y) 是满足 (H[z]>H[x]) 的所有 (z) 中比 (x) 小的最大非负整数；或者：
• (y) 是满足 (H[z]>H[x]) 的所有 (z) 中比 (x) 大的最小非负整数。

Pak Dengklek 有 (Q) 个跳跃计划，每个计划用四个整数 (A)，(B)，(C) 和 (D)（(A le B<C le D)）来描述。对于每个计划，Pak Dengklek 想知道猩猩是否能够从某棵树 (s)（(A le s le B)）出发，经过若干次跳跃，到达某棵树 (e)（(C le e le D)）。若该计划可行，Pak Dengklek 还想知道可行方案中猩猩需要的最少跳跃次数。
你需要实现下列函数：

void init(int N, int[] H)

• (N)：树的数量。
• (H)：大小为 (N) 的数组，(H[i]) 表示 (i) 号树的高度。
• 该函数在第一次 minimum_jumps 的调用前，将会被调用恰好一次。

int minimum_jumps(int A, int B, int C, int D)

• (A,B)：可以用作起点的树的编号范围。
• (C,D)：可以用作终点的树的编号范围。
• 该函数需要返回可行方案中猩猩需要的最少跳跃次数，或者返回 (-1) 表示该计划不可行。
• 该函数将被调用恰好 (Q) 次。

(nleq 2 imes 10^5;Qleq 10^5)。

思路

首先考虑 (A=B,C=D) 时怎么做。
不难发现可以从 (A) 到 (C) 的充要条件是 ([A,C)) 中最高的树都没有 (C) 高。
最优方案一定是先不断往左右两边更高的跳，直到下一次跳的高度超过 (C) 的高度。然后不断往右跳直到 (C) 为止。
所以我们预处理 (f[i][j],g[i][j],h[i][j]) 分别表示从 (i) 开始跳 (2^j) 次，其中每次往左右更高的跳 / 往右跳 / 往左跳能跳到的位置；再维护一个 ST 表用于求区间最大值，然后就可以单次 (O(log n)) 查询了。

接下来考虑 (C=D) 时怎么做。
我们找到 (C) 左边第一个高度大于 (C) 的位置 (k)。如果 $kgeq $ 则无解，否则从 ([max(k+1,A),B]) 开始跳一定最优。因为其他点可以跳到的，这个位置一定也可以通过不会更多的次数跳到。

最后考虑 (100\%) 的数据，也就是 (Aleq B<Cleq D)。
依然找到 ([B,C)) 中最高点 (p)，然后再找 ([C,D]) 中第一个高于 (p) 的位置 (x)；再找向左第一个高于 (x) 的位置 (q)，再找到 ([C,D]) 中一个高于 (q) 的位置 (y)。
可以证明，最优解最后到达的一定是 (x) 或 (y)。

• 如果 (q<A)，那么任意 ([A,B]) 中的点去到 ([C,D]) 的路径上一定至少会经过 (p) 和 (q) 中的一个。如果经过的是 (p)，下一步直接跳到 (x)，否则下一步直接跳到 (y)。
• 如果 (Aleq qleq B)，那么最优解就是从 (q) 直接跳到 (y)。
• 如果 (q>B)，那么 ([B,C)) 中的最高点应该是 (q) 而非 (p)，矛盾。

所以这样可能的终点就只有 (2) 个，用 (C=D) 的方法分别求出来后取较小值即可。
时间复杂度 (O(nlog n))。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=200010,LG=18;
int n,Q,a[N],f[N][LG+1],g[N][LG+1],h[N][LG+1],mx[N][LG+1],lg[N];
stack<int> st;

void init(int N, vector<int> H)
{
	n=N;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		a[i]=H[i-1],mx[i][0]=i;
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		while (st.size() && a[st.top()]<a[i]) st.pop();
		if (st.size()) h[i][0]=st.top();
		st.push(i);
	}
	while (st.size()) st.pop();
	for (int i=n;i>=1;i--)
	{
		while (st.size() && a[st.top()]<a[i]) st.pop();
		if (st.size()) g[i][0]=st.top();
		st.push(i);
	}
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		f[i][0]=(a[h[i][0]]>a[g[i][0]]) ? h[i][0] : g[i][0];
		if (i>1) lg[i]=lg[i>>1]+1;
	}
	for (int j=1;j<=LG;j++)
		for (int i=1;i<=n;i++)
		{
			f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1];
			g[i][j]=g[g[i][j-1]][j-1];
			h[i][j]=h[h[i][j-1]][j-1];
			if (i+(1<<j)-1<=n)
				mx[i][j]=(a[mx[i][j-1]]>a[mx[i+(1<<j-1)][j-1]]) ? mx[i][j-1] : mx[i+(1<<j-1)][j-1];
		}
}

int findmax(int l,int r)
{
	int k=lg[r-l+1];
	return (a[mx[l][k]]>a[mx[r-(1<<k)+1][k]]) ? mx[l][k] : mx[r-(1<<k)+1][k];
}

int binary(int l,int r,int x)
{
	if (r<=x)
	{
		for (int i=LG;i>=0;i--)
			if (h[x][i] && h[x][i]>r) x=h[x][i];
		if (h[x][0]>=l) return h[x][0];
	}
	else
	{
		for (int i=LG;i>=0;i--)
			if (g[x][i] && g[x][i]<l) x=g[x][i];
		if (g[x][0]<=r) return g[x][0];
	}
	return 0;
}

int query(int l,int r,int k)
{
	if (!k) return -1;
	int p=h[k][0];
	if (p>r) return -1;
	int q=findmax(max(p+1,l),r),ans=0;
	for (int i=LG;i>=0;i--)
		if (f[q][i] && a[f[q][i]]<=a[k])
			q=f[q][i],ans+=(1<<i);
	for (int i=LG;i>=0;i--)
		if (g[q][i] && a[g[q][i]]<=a[k])
			q=g[q][i],ans+=(1<<i);
	return ans;
}

int minimum_jumps(int A, int B, int C, int D)
{
	A++; B++; C++; D++;
	int p=findmax(B,C-1),x=binary(C,D,p);
	int q=binary(1,B,x),y=binary(C,D,q);
	int c1=query(A,B,x),c2=query(A,B,y);
	if (c1==-1) return c2;
	if (c2==-1) return c1;
	return min(c1,c2);
}
/*
int main()
{
	int N, Q;
	assert(2 == scanf("%d %d", &N, &Q));
	std::vector<int> H(N);
	for (int i = 0; i < N; ++i)
		assert(1 == scanf("%d", &H[i]));
	init(N, H);
	for (int i = 0; i < Q; ++i)
	{
		int A, B, C, D;
		assert(4 == scanf("%d %d %d %d", &A, &B, &C, &D));
		printf("%d
", minimum_jumps(A, B, C, D));
	}
	return 0;
}
*/