【CF1548C】The Three Little Pigs

题目

题目链接：https://codeforces.com/contest/1548/problem/C
给定 (n,Q)，(Q) 次询问，每次询问给出 (k)，求

[sum^{n}_{i=1}inom{3i}{k}mod 10^9+7 ]

(nleq 10^6,Qleq 2 imes 10^5)。

思路

设 (f[i][j]=sum^{n-1}_{k=0}inom{3k+j}{i}mod 10^9+7) 的值。其中 (jin [0,2])。这样的话，答案就是 (f[k][0]+inom{3n}{k}) 了。
考虑怎么转移。根据 (inom{n}{m}=inom{n-1}{m}+inom{n-1}{m-1})，有

[f[i][1]=f[i][0]+f[i-1][0] ]

[f[i][2]=f[i][1]+f[i-1][1] ]

然后观察到

[f[i][0]+f[i][1]+f[i][2]=sum^{3n-1}_{j=0}inom{j}{i}=inom{3n}{i+1} ]

就可以进行 dp 预处理出 (f[i][j]) 了。
至于 (sum^{3n-1}_{j=0}inom{j}{i}=inom{3n}{i+1}) 的原因，考虑组合意义，“从 (3n) 个物品选出 (i+1) 个”。当最后一个被选择的物品是第 (k) 个时，方案数就等于 (inom{k-1}{i})。
时间复杂度 (O(n+Q))。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N=3000010,MOD=1e9+7,inv3=333333336;
int n,Q,f[N][3];
ll fac[N],inv[N];

ll fpow(ll x,ll k)
{
	ll ans=1;
	for (;k;k>>=1,x=x*x%MOD)
		if (k&1) ans=ans*x%MOD;
	return ans;
}

ll C(int n,int m)
{
	if (n<m) return 0;
	return fac[n]*inv[m]%MOD*inv[n-m]%MOD;
}

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&Q);
	fac[0]=inv[0]=1;
	for (int i=1;i<=3*n;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%MOD;
	inv[3*n]=fpow(fac[3*n],MOD-2);
	for (int i=3*n-1;i>=1;i--) inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%MOD;
	f[0][0]=f[0][1]=f[0][2]=n;
	for (int i=1;i<=3*n;i++)
	{
		f[i][0]=(C(3*n,i+1)-f[i-1][1]-f[i-1][0]*2)*inv3%MOD;
		f[i][1]=(f[i][0]+f[i-1][0])%MOD;
		f[i][2]=(f[i][1]+f[i-1][1])%MOD;
	}
	while (Q--)
	{
		int k;
		scanf("%d",&k);
		cout<<((f[k][0]+C(3*n,k))%MOD+MOD)%MOD<<"
";
	}
	return 0;
}