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几何-毕达哥拉斯树：百度

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毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”。是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形。又因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树。

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毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”。是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形。又因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树。

中文名：毕达哥拉斯树
外文名：Pythagoras tree
别称：勾股树

提出者：毕达哥拉斯
应用学科：数学，物理
适用领域范围：几何

定义

图1.毕达哥拉斯树(7张)

毕达哥拉斯树是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的图形。又因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”。

原理

直角三角形两个直角边平方的和等于斜边的平方。两个相邻的小正方形面积的和等于相邻的一个大正方形的面积。而同一次数的所有小正方形面积之和等于最大正方形的面积，直角三角形两个直角边平方的和等于斜边的平方。

三个正方形之间的三角形，其面积小于等于大正方形面积的四分之一，大于等于一个小正方形面积的二分之一。根据所做的三角形的形状不同，重复做这种三角形的毕达哥拉斯树的“枝干”茂密程度就不同。

建立

毕达哥拉斯树的建立是从一个大正方形开始的，在该正方形的上方建立两个全等的较小正方形，三个正方形间呈现一个等腰直角三角形，故较小正方形的边长为大正方形边长的√2/2。对这两个较小的正方形重复这一过程，得到四个更小的正方形，如此继续下去。若设第一个大正方形的边长为1，在第n级时，会增加2n个小正方形，每个小正方的边长是 (√2/2), 故每一步增加的面积均为2n×(½√2)=1，从这一点来看，当n趋近于无穷时，毕达哥拉斯树的总面积也趋于无穷。但实际上的情况是，当n大于5时，所增加的小正方形会发生互相重叠，导致毕达哥拉斯树的面积是有限的，它局限在一个6×4 的盒子里，但具体值不易求出。