Prim最小生成树板子

普里姆算法可以称为“加点法”，每次迭代选择代价最小的边对应的点，加入到最小生成树中。算法从某一个顶点s开始，逐渐长大覆盖整个连通网的所有顶点。

邻接矩阵存图  时间复杂度O(n^2) 

1.算法过程描述

　　　给出一个无向图G=<V,E>

1. 图的所有顶点集合为V；分成两个集合 初始令集合U= {s} , V'=V−U;
   
2. 在两个集合U,V'能够组成的边中，选择一条代价最小的边(u0,v0)( u0∈U,v0∈V'),加入到最小生成树中，并把v0并入到集合U中。
3. 重复上述步骤，直到最小生成树有n-1条边或者n个顶点为止。

由于不断向集合U中加点，所以最小代价边必须同步更新；需要建立一个辅助数组lowcost,用来维护集合V'中每个顶点与集合U中最小代价边信息

2.算法实现    

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn= 1e4+10;
const double eps= 1e-6;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int mod =3;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
int g[maxn][maxn];
int mst[maxn];
int lowcost[maxn];
int n,m;
int prim(int x)  //从x点开始扩展
{
    int sum=0;             //边权和
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        lowcost[i]=g[x][i];   //lowcost[i]表示以i为终点的边中最小的权值，等于-1 表示已在集合U中
　　　　　　　//mst[i]=x;           //记录路径的话 开个mst数组 mst[i]=x;表示当前集合U中到点的距离最小的点为x 即边（x,i）为候选边
    }
    lowcost[x]=-1;            
    for(int i=1;i<=n-1;i++)
    {
        int mind=inf,minid=0;
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            if(lowcost[j]<mind&&lowcost[j]!=-1)
            {
                mind=lowcost[j];　　　　　　　　　　　　//选出最小值（要加入最小生成树的边的边权）
                minid=j;　　　　　　　　　　　　　　　　　//记录要加入的点
            }
        }
        sum+=mind;      
        lowcost[minid]=-1;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(lowcost[i]>g[minid][i])           //更新候选值
            {
                lowcost[i]=g[minid][i];
            }
        }
    }
    return sum;                  //返回最小生成树边权值和
}
int main()
{
    while(scanf("%d %d",&n,&m)!=EOF)   //n个点,m条边
    {
        for(int i=1; i<=n; i++)     //赋初值
        {
            for(int j=1; j<=n; j++)
                g[i][j]=inf;
        }
        int u,v,w;
        for(int i=0;i<m;i++)
        {
            scanf("%d %d %d",&u,&v,&w);
            g[u][v]=g[v][u]=w;
        }
        int sum=prim(1);
        printf("%d
",sum);
    }
}

相关 裸题 http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1212

3.简单证明prim算法   

反证法：假设prim生成的不是最小生成树

1).设prim生成的树为G₀

2).假设存在G_min使得cost(G_min)<cost(G₀)   则在G_min中存在<u,v>不属于G₀

3).将<u,v>加入G₀中可得一个环，且<u,v>不是该环的最长边(这是因为<u,v>∈G_min)

4).这与prim每次生成最短边矛盾

5).故假设不成立，命题得证.