欧拉函数
欧拉函数（Euler's totient function）
欧拉函数的定义:
在数论中，对于正整数N,少于或等于N ([1,N]),且与N互质的正整数(包括1)的个数，记作φ(n)。
φ函数的值：
φ(x)=x(1-1/p(1))(1-1/p(2))(1-1/p(3))(1-1/p(4))…..(1-1/p(n)) 其中p(1),p(2)…p(n)为x的所有质因数;x是正整数;
φ(1)=1(唯一和1互质的数，且小于等于1)。注意：每种质因数只有一个。
例如:
φ(10)=10×(1-1/2)×(1-1/5)=4;
1 3 7 9
φ(30)=30×(1-1/2)×(1-1/3)×(1-1/5)=8;
φ(49)=49×(1-1/7)=42;
欧拉函数的性质：
(1) p^k型欧拉函数:
若N是质数p(即N=p), φ(n)= φ(p)=p-p^(k-1)=p-1。
若N是质数p的k次幂(即N=p^k)，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)。
(2)mn型欧拉函数
设n为正整数，以φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值。若m,n互质，φ(mn)=(m-1)(n-1)=φ(m)φ(n)。
(3)n所有约数的欧拉函数和等于n ∑ d|n ϕ(d) = n
(4)若n为奇数时，φ(2n)=φ(n)。
(5) 若(N % a == 0 && (N / a) mod a == 0) 则有：φ(N)=φ(N / a) * a。
(6) 若(N % a == 0 && (N / a) mod a != 0) 则有：φ(N)=φ(N / a) * (a - 1)。 (a 为质数)
(7)特殊性质:
对于任何两个互质 的正整数a,n(n>2)有
:a^φ(n)=1 mod n (恒等于)
此公式即 欧拉定理
当n=p 且 a与素数p互质(即:gcd(a,p)=1)则上式有:
a^(p-1)=1 mod n (恒等于)
此公式即 费马小定理
欧拉函数相关的证明：
(1) p^k型的欧拉函数的证明：
对于给定的一个素数p: φ(p)=p-1 那么容易证明φ(n)=p^k-p^(k-1)
已知少于或等于p^k的正整数的个数为p^k-1,其中和p^k不互质的正整数有{ p×1,p×2,...,p×(p^(k-1)-1)}，共计p^(k-1)-1个
故: φ(n) = p^k-1-(p^(k-1)-1)=p^k-p^(k-1)。
(2) mn型的欧拉函数的证明:
因为:x=mn m与n互质(即:gcd(m,n)=1);根据中国剩余定理Z(x)和Z(m)×Z(n)之间存在一一映射，所以x的完全余数集(见下面参考)中的元素的个数Z(x)等于Z(m)×Z(n)元素的个数；而Z(m)×Z(n)= φ(m)φ(n)
故有: φ(mn) =φ(m)φ(n) 成立。
(3)任意正整数的欧拉函数的相关证明:
任意一个整数n都可以表示为其质因子的乘积:
n=(p(1)^k(1)) *(p(2)^k(2)) *(p(3)^k(3))…(p(i)^k(i))*…*(p(I)^k(I)) 其中I为n 的质因子的个数。
根据(1)(2)的结论，很容易得出它的欧拉函数为:
φ(n)=n(1-1/p(1))(1-1/p(2))(1-1/p(3))(1-1/p(4))…..(1-1/p(i)) 其中I为n 的质因子的个数。
对于任意n>2,2|φ(n) 必定存在 p(i)-1是偶数
欧拉定理的相关证明:
(1) 令Z(n)={ X(1),X(2),…,X(φ(n)) } S={ a*X(1) mod n, a*X(2) mod n ,…,a*X(φ(n)) mod n },则 Z(n)=S。
1)因为a与n互质(即:gcd(a,n)=1), X(i)(1≤i≤φ(n))与n互质(即:gcd(X(i),n)=1);所以
a*X(i)与n互质(即:gcd(a*X(i),n)=1),故 a*X(i) mod n ∈ Z(n)。
2)若i≠j,那么 X(i)≠X(j) ,又有a与n互质(即:gcd(a,n)==1)，则可得出: a*(X(i)) mod n ≠a*X(j) mod n (消去定律)。
(2) a^(φ(n))*X(1)*X(2)*X(3)*…*X(φ(n)) mod n
=(a*X(1))*(a*X(2))*(a*X(3))*…*(a*X(φ(n))) mod n
=(a*X(1) mod n)*(a*X(2) mod n)*(a*X(3) mod n)*…*(a*X(φ(n)) mod n) mod n
=X(1)*X(2)*X(3)*…*X(φ(n)) mod n。
对比等式左右两端，因为X(i)(1≤i≤φ(n))与n互质(即:gcd(X(i),n)==1) ,
故: a^φ(n)=1 mod n (恒等于)成立。
费马小定理的相关证明：
若正整数 a与素数p互质，则有a^(p-1)=1 mod n(恒等于)
由于φ(p)=p-1 且 a^φ(n)=1 mod n ，又有此处的p==n;
故:a^(p-1)=1 mod n成立。
此定理可以用来简化幂的模运算:
例如: 计算 7^222的个位数，实际上是求7^222被10除的余数。
且7与10互质，φ(10)=4，由欧拉定理知7^4= 1mod 10
故7^222=(7^4)^55*(7^2)=>(1^55)*(7^2)=>49=>9 mod 10
欧拉函数的延伸:
于或等于n的数中，与n互质的数的总和为：φ(x) * x / 2 (n>1)。
相关知识参考:
完全余数集合：
定义小于 n 且和 n 互质的数构成的集合为 Z(n) ，称呼这个集合为 n 的完全余数集合。 显然 |Z(n)| ＝φ(n) 。
同余定理：
如果 a mod b = c 则有(a+kb) mod b =c(k为非0整数)
如果 a mod b = c 则有(ka) mod b =kc (k为正整数)
(a+b) mod c =((a mod c)+(b mod c )) mod c;
(a*b) mod c=((a mod c)*(b mod c)) mod c
欧拉函数模板 复杂度 O(sqrt(n))
ll euler(ll n) //返回euler(n) { ll res=n,a=n; for(ll i=2; i*i<=a; i++) { if(a%i==0) { res=res/i*(i-1);//先进行除法是为了防止中间数据的溢出 爆int while(a%i==0) a/=i; } } if(a>1) res=res/a*(a-1); return res; }
欧拉函数打表 O(n)
int check[maxn],phi[maxn],prime[maxn]; int main() { int n,cnt=0; n=maxn; phi[1]=1; for(int i=2; i<=n; i++) { if(!check[i]) { prime[++cnt]=i; phi[i]=i-1; } for(int j=1; j<=cnt&&prime[j]*i<=n; j++) { check[i*prime[j]]=1; if(i%prime[j]) phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1); else { phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j]; break; } } } for(int i=0;i<=n;i++) cout<<i<<" "<<phi[i]<<endl; for(int i=1;i<=cnt;i++) cout<<i<<" "<<prime[i]<<endl; }