微分三大中值定理，罗尔中值定理，拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理。
我对拉格朗日中值定理的构造函数的构造思路，进行了自己的猜测，网上没有找到类似的猜测和研究
下面的费马定理可以看做是三大中值定理的引理
费马定理(fermat):(设f(x)在其极值点x_{0}处可导，则f'(x_{0})=0)
*以下证明的前提，都是在(a,b)上可导，而不是[a,b]上可导，原因在于端点a,b两侧，[a,b]之外，未必可导，甚至未必有定义。
a,b的左右导数，未必等于另一侧导数。即，a点左导数，不一定等于a点右导数
*拉格朗日中值定理，是罗尔中值定理的推广，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特例，即函数在定义域内两端点函数值相等的特例。
柯西中值定理，是拉格朗日中值定理的一个特例，即，g(x)=x,结论就变成了拉格朗日中值定理。
(证明：因为f(x)在x_{0}点位极值点，故exists x_{0}的邻域U(x_{0},delta)，forall x in U，有f(0)geqslant f(x))
(在x_{0}点的左右极限如下)
(左极限为quadquad lim_{delta o 0}frac{f(x_{0})-f(x_{0}-delta)}{delta}geqslant 0)
(右极限为quadquad lim_{delta o 0}frac{f(x_{0}+delta)-f(x_{0})}{delta}leqslant 0)
(因为f(x)在x_{0}可导，所以左极限与右极限相等，故)
(0 leqslant lim_{delta o 0}frac{f(x_{0})-f(x_{0}-delta)}{delta}=f'(x_{0})=lim_{delta o 0}frac{f(x_{0}+delta)-f(x_{0})}{delta}geqslant 0)
(可得 f'(x_{0})=0)
(罗尔中值定理(Rolle)设函数f在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b),那么\至少存在一点xi in (a,b)，有f'(xi)=0)
证明：因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，所以存在最大值与最小值，分别用 M 和 m 表示，分两种情况讨论：
2. 若 M>m，则因为 f(a)=f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得，f(x) 在 ξ 处取得极值，由费马引理，可导f'(ξ)=0。
另证：若 M>m ，不妨设f(ξ)=M，ξ∈(a,b)，由可导条件知，f'(ξ+)<=0，f'(ξ-)>=0，又由极限存在定理知左右极限均为 0，得证。
(拉格朗日中值定理：设f在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，则存在一点ξin (a,b),有\)
(quadquadfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(ξ))
(证明：构造辅助函数g(x)=f(x)-f(a)-frac{f(b)-f(a)}{b-a}*(x-a))
(则g(x)在[a,b]上连续，且在(a,b)上可导)
(且有g(a)=0,g(b)=0)
(根据罗尔定理，至少exists 一点xi 有g'(xi)=0)
(即g'(xi)=0)
(则有g'(xi)=f'(xi)-frac{f(a)-f(b)}{b-a}=0)
(即：f'(xi)=frac{f(a)-f(b)}{b-a})
证毕
拉格朗日中值定理
(若f(x),g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，则exists xi，有frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(xi))
(证明：构造辅助函数quad F(x)=f(x)-f(a)-frac{f(b)-f(a)}{b-a}*(x-a))
(则quad F(a)=F(b)=0)
(由罗尔中值定理，exists xi,有F'(xi)=0)
(即quad f'(xi)-frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0)
(即f'(xi)=frac{f(b)-f(a)}{b-a})
柯西中值定理：
(若f(x),g(x)在[a,b]上连续，且在(a,b)上可导，那么\)
(exists xi in (a,b)，有quadfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=frac{f'(xi)}{g'(xi)})
(证明：构造辅助函数F(x)=(f(b)-f(a))(g(x)-g(a))-(g(b)-g(a))(f(x)-f(a)))
(则quad F(a)=F(b)=0)
(由罗尔中值定理，可知quad exists xi in(a,b),有\)
(F'(xi)=0)
(即quad F'(xi)=(f(b)-f(a))g'(xi)-(g(b)-g(a))f'(xi)=0)
(即：frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=frac{f'(xi)}{g'(xi)}\)
柯西中值定理，是拉格朗日中值定理的一个特例，即，g(x)=x,结论就变成了拉格朗日中值定理。