有两种方法，常见的证明方法是有限覆盖定理。
这里是参考中科大数分教材的证明方法，做了修改。
中科大是反证法利用构造子列的列紧性定理
(\)
【中科大反证法】课本106页
定理：设f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上一致连续。
证明：用反证法。
(假设f(x)不一致连续，那么existsepsilon,forall nin N^+)
(exists 两个点S_{n},t_{n} in [a,b],有|S_{n}-t_{n}|<frac{1}{n},)
(且|f(S_{n})-f(t_{n})|>epsilonquadquadquad(1))
(ecause {S_{n}in [a,b] })
( herefore 由列紧性定理，任何有界数列，存在一个收敛子列{S_{k_{n}}})
(有quad S_{k_{n}}->S^*in [a,b])
(可得：|t_{k_{n}}-s^*|leqslant|t_{k_{n}}-S_{k_{n}}|+|S_{k_{n}}-S^*|)
(quadquadquad<frac{1}{k_{n}}+|S_{k_{n}}-S^*|<frac{1}{n}+|S_{k_{n}}-S^*|)
(由数列极限的夹逼定理，得到)
(0leqslant lim_{n o infty}|t_{k_{n}}-s^*|leqslant lim_{n o infty}frac{1}{n}+|S_{k_{n}}-S^*|=0)
(可知 lim_{n oinfty}t_{k_{n}}=0)
(即：t_{k_{n}}跟S_{k_{n}}有相同极限S^*)
(由(1)式，可知，forall nin N^+,有|f(S_{k_{n}})-f(t_{k_{n}})|geqslantepsilonquadquadquad(2))
(由函数的连续性，可得：lim_{n oinfty}f(S_{k_{n}})=lim_{n oinfty}f(S^*))
(即S_{k_{n}}趋于S^*时，f(S_{k_{n}})趋于f(S^*),这是根据函数连续性)
(同理，lim_{n oinfty}f(t_{k_{n}})=lim_{n oinfty}f(S^*))
(对(2)式两侧取极限，左侧为lim_{n oinfty}|f(S_{k_{n}})-f(t_{k_{n}})|=|lim_{n oinfty}f(S_{k_{n}})-lim_{n oinfty}f(t_{k_{n}})|-----极限符号和绝对值的互换前提是各项极限存在，可以自己手工证明，\)
(分大于等于零和小于零的情况，极限和绝对值顺序交换的结果是一致的)
(quadquadquadquadquadquadquadquadquadquadquad=|lim_{n oinfty}f(S^*)-lim_{n oinfty}f(S^*)|=0)
(右侧为>epsilon),矛盾
证毕
(\)
(说明：如果题设条件是开区间(a,b)，则S_{k_{n}}与t_{k_{n}}的极限S^*不一定在此区间内，)
(如果在区间以外，则该极限点，没有函数定义f(S^*),例如f(x)=frac{1}{x},如果极限点是0，f(x)在x点没有定义)