(quadquad VII.quad INFINITESIMALquad ANALYSIS)
(这里，在结尾之际，我们应该解释一下前面的那些探讨和无穷小分析理论之间的关系。)
(quadquad 我们说一个无级变幅x通过连续确定数值靠近一个固定值alpha，就是指x最终会和alpha)
(共同处于某两个数之间，或者，x积累到与alpha 共同位于这两数之间，此时|alpha-x|小于任意事先给定的非零正数。)
(quad 一个重要的定理是这样说的：如果一个变数x持续增长，但是不会超过所有的限制，那么它必然趋近一个极限值。)
(quadquad 我用下面的方式来证明上述结论。假设存在一个，则必然有无穷多个数alpha2，使得x始终<alpha2)
(我把所有这样的alpha2划归于delta2系统；其他的数alpha1划归delta1系统)
(后者，即delta1，其中的每个数字，都有这样的特性:在x的变化过程中，x最终会geqalpha1,这样每个alpha1)
(都小于alpha2,则存在一个数alpha,它或者是delta1中的最大数，或者是delta2中的最小数；前者的情况不可能出现，)
(因为x一直在增长(我注：如果delta1里有最小值a，根据delta1的定义,x最终会>a,则a显然不是最小值，另，这里的证明不适用于)
(lim(-frac{1}{n})^n,因为根据前述，该证明是在证明单向递增的情况)，所以，alpha 是delta2中的最小值。不管alpha1取何值，)
(最终都有alpha1<x<alpha,即，x趋近alpha.)
(quadquad 这个定理等价于连续法则，即，一旦我们假设一个数字不在域R中；或者表述为，如果这个定理正确，那么V中的定理IV也正确。)
(quadquad 另一个分析无穷小的定理，与上述定理类似，也经常被用到，陈述如下：在x的变化中，若对于每个事先给定的正数delta,)
(我们都能找到一个与之对应的位置，从这个位置之后，x的变动都会小于delta, 那么x趋近一个极限值。)
(quadquad 如果一个变量趋近某个极限，则最终该变量的变化会小于任何给定正数，这个原理可以从前面的定理轻松导出，也可以从连续性)
(定理导出。我下面就用连续性定理来导出。设delta是任意正数，则根据假设，存在一个时间点，在其之后，x的改变将小于delta,即：)
(如果此时的x=a，则a-delta<x<a+delta。现在，我暂时不用原始的假设，而是使用已经被刚刚证明的定理)
(，即，所有后续的x的值，都讲位于事先给定的两数之间。在此基础上，我对实数做两组分割。对于系统delta1,其中的数alpha2（例如,a+delta）,在x)
(的变化中，均>x;系统delta1,包含除delta2以外的其他数。如果alpha1是这样的数，那么不管这个过程进行了多久，都会发生无数次)
(x>alpha2(怀疑原文写错了，应为alpha1),既然每个alpha1<alpha2,那么必然存在一个确定的数alpha产生了实数系统R的这个分割（delta1,delta2）,我称这个alpha为)
(x的上限，它总是有限的。类似的方式，作为变量x的结果，系统R的第二个分割产生了。数字eta2(例如,a-delta)分配给B2，在x最终变得比)
(eta大的过程中，；每个其他的eta2，分配给B2的这些eta2,有这样的特性：x永远不会最终大于这些eta2；因此，有无穷多次x小于eta2,)
(产生这个分割的eta我称之为x的下限值。alpha和eta 有这样的特征：若epsilon是任意小的正数，最终会有x<alpha+epsilon和x>alpha-epsilon)
(而不会发生最终x<alpha-epsilon和x>alpha+epsilon。这样就只有两种可能，若alpha和eta是两个不相同的数，那么只能是alpha>eta,)
(因为alha2持续>eta2;变量x会左右摇摆，不管这个过程如何进行，最终会出现x的变动值超过(alpha-eta)-2epsilon。这与我一开始的假设矛盾。)
(这样就只剩下最后一种情况，alpha=eta，而且我们已经发现，不管任意指定的epsilon多么小，我们最终总能得到x<alha+epsilon和x>eta-epsilon)
(x靠近极限值alpha。证毕。)
(quadquad 这些例子足以表明连续性法则和无穷小分析之间的联系。)