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  • 戴德金--连续性和无理数-第11页翻译

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    (构成这本小册子的主题思想的那些想法,在1858年秋天,第一次引起了我的注意。作为苏黎世理工学校的教授,我第一次感到自己有义务把)
    (既然加法已经定义,那么其他的基础运算就可以定义了。即,减、乘、除、乘方、根,对数,这样我们就到了对加减乘除等这些基本运算的)
    (真正证明(如,sqrt(2)cdotsqrt(3)=sqrt(6)),据我所知,这些证明此前尚未建立。更复杂的运算定义会长的令人恐惧,虽然这些)
    (定义都是其固有的,但是大部分是可以避免的。与之相关的一个非常有用的概念是区间,即,一个有理数组成的系统A具有下面的特点,如果)
    (a和a’在A中,那么所有位于a和a'之间的有理数,都包含在A内。包含全部有理数的系统R和任何分割的两类都是区间。假设存在有理数)
    (a_{1}<A内的所有数,存在有理数a_{2}>A内的所有数,那么A称为确定区间。可知,存在无穷多这样的a_{1}和a_{2};整个域R被分为三部分,)
    (A_{1},A,A_{2},有理数或无理数a_{1},a_{2}称为区间的下限和上限。下限a_{1}由产生第一类A_{1}的分割产生,上限由产生第二类A_{2}的分割, )称每个位于a_{1}和a_{2}之间的数为位于区间A内。如果所有A内的数,都是B内的数,称A为B的一部分。( )quadquad 当我们试图把有理数的大量算术定理(如乘法结合律(a+b)c=ac+bc)应用于任意实数时,那些冗长的考虑就会冒出来。但是,( )实际并非如此。很容易看出,这些操作都简化为某种连续性的体现。上述讨论可以归纳为下面的通用定理:( )quadquad "若数字lambda 是alpha,eta,gamma等数字运算的结果,且lambda位于区间L内,那么可以得到A,B,C等区间,分别包含( )数字alpha,eta,gamma等数字,这样,这些数字的运算,转为区间的运算,运算结果是区间L中的一个数字"。如此笨拙的过程,让我们不得不( )寻找一个方法简化这些表达式。于是,无极变幅,函数,极限值,这些概念被引入。即使是最简单的算术运算最好也建立在这些概念之上,这里不再( )深入讨论。( )----endquad of quad pagequad 11----$

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