MathAndProbability（数学与概率）

1.有个篮球框，下面两种玩法可任选一种。玩法1：一次出手机会，投篮命中得分。玩法2：三次出手机会，必须投中两次。如果p是某次投篮命中的概率，则p的值为多少时，才会选择玩法1或玩法2？

解法：假设投中概率是p，p1 = p;  p2 = 3 * p * p * (p - 1);  算什么情况下选玩法一：p1 > p2.求得p < 0.5的时候。p > 0.5选第二种。但是p = 0, 1, 0.5两种都是一样的。

2.三角形的三个顶点上各有一只蚂蚁。如果蚂蚁开始沿着三角形的边爬行，两只或三只蚂蚁撞在一起的概率有多大？假定每只蚂蚁会随机选一个方向，每个方向被选到的几率相等，而且三只蚂蚁的爬行速度相同。

解法：当其中两只蚂蚁互相朝着对方而行，就会发生碰撞。因此，蚂蚁不发生碰撞的前提是，它们都朝着同一方向爬行（顺时针或逆时针）。

P（顺时针）=P（逆时针）=（1/2）的三次方=1/8  P（同方向）=1/4   P（碰撞）= 1 - P（同方向）=3/4 

类似问题：在n个顶点的多边形上有n只蚂蚁，求出这些蚂蚁发生碰撞的概率。

P（碰撞）= 1 - P（同方向）= 1 - （1/2）的（n-1）次方

import java.util.*;

public class Ants {
    public double antsCollision(int n) {
        // write code here
        return (1 - Math.pow(0.5, n - 1));
    }
}

3.给定直角坐标系上的两条线，确定这两条线会不会相交。

思路：两条线若不平行则必相交。因此，要检查两条线相交与否，只需检查两者的斜率是否相同或是否为同一条直线。

public class Line {
    static double epsilon = 0.000001;
    static double slope;//斜率
    static double yintercept;//y轴截距
    public Line(double s, double y) {
        slope = s;
        yintercept = y;
    }
    public boolean intersect(Line line2) {
        //两条线斜率不相同或者y轴截距相同一定会相交
        return Math.abs(slope - line2.slope) > epsilon ||
               Math.abs(yintercept - line2.yintercept) < epsilon;
    }
}

注意：不要假设斜率和y轴截距就是整数。切记不要用==检查浮点数是否相等，而是应该检查两者差值是否小于某个极小值（如上面代码中的epsilon值）。

4.编写方法，实现整数的乘法、减法和除法运算。只允许使用加号。

思路：对于每个子问题，深入思考这些运算的本质，或者如何其他运算表示（加法或已实现的运算）。

1.减法:a-b=a+(-1)*b。但是不能使用乘号，必须实现一个取反（negate）运算。要对数值+k（-k）取反，只需将-1(+1)连加k次。

2.乘法。a乘以b就是将a连加b次。要注意如果b为负数，需要将sum值取反，即multiply(a, b)=abs(b)*a*(-1 if b <0)

3.除法。计算x=a/b中的x。好好利用等式a=xb，将b与它自身连加直至得到a，就能算出x。b与自身连加的次数等于x的值。

public class AddSubstitution {
    //减法
    //取反操作
    public static int negate(int a) {
        int neg = 0;
        int d = a < 0 ? 1 : -1;
        while (a != 0) {
            neg += d;
            a += d;
        }
        return neg;
    }
    //两数相减相当于对b取反，然后将两数相加
    public static int minus(int a, int b) {
        return a + negate(b);
    }
    //乘法
    //将a连加b次，实现a乘b
    public static int multiply(int a, int b) {
        if (a < b) {
            return multiply(b, a);//若b < a,算法会比较快
        }
        int sum = 0;
        for (int i = abs(b); i > 0; i--) {
            sum +=a;
        }
        if (b < 0) {
            sum = negate(sum);
        }
        return sum;
    }
    //返回绝对值
    public static int abs(int a) {
        if (a < 0) {
            return negate(a);
        } else {
            return a;
        }
    }
    //除法
     public static int divide(int a, int b) {
        if (b > a) {
            return 0;
        }
        int count = 0;
        int a1 = abs(a);
        int b1 = abs(b);
        int sum = b1;
        while (sum <= a1) {
            count++;
            sum += b1;
        }
        if (a > 0 && b < 0 || a < 0 && b > 0) {
            count = negate(count);
        }
        return count;
    }
}

注意：要小心假设。不要假设所有数都是正数，也不该假设a会比b大。

5.在二维平面上，有两个正方形，请找出一条直线，能够将这两个正方形对半分。假定正方形的上下两条边与x轴平行。

6.在二维平面上，有一些点，请找出经过点数最多的那条线。

7.有些数的素因子只有3、5、7，请设计一个算法，找出其中第k个数。

解法：《九章算法》chapter eight 丑数I II

import java.util.ArrayList;

public class getNthNumber {
    public int nthUglyNumber(int n) {
        // Write your code here
        ArrayList<Integer> uglys = new ArrayList<Integer>();
        uglys.add(1);
        int p3 = 0;
        int p5 = 0;
        int p7 = 0;
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            int lastNumber = uglys.get(i - 1);
            while (uglys.get(p3) * 3 <= lastNumber) {
                p3++;
            }
            while (uglys.get(p5) * 5 <= lastNumber) {
                p5++;
            }
            while (uglys.get(p7) * 7 <= lastNumber) {
                p7++;
            }
            uglys.add(Math.min(
                Math.min(uglys.get(p3) * 3, uglys.get(p5) * 5),
                uglys.get(p7) * 7
            ));
        }
        return uglys.get(n - 1);
    }
}