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  • caioj 1154 同余方程(模版)

    求x的最小正整数解,使得ax=b(mod m)

    那么显然ax - b = m * y

    ax - my = b

    那么就套入Ax+By = K的不定方程中,然后用exgcd求解即可

    但这道题求最大正整数解,对于一组解,有这样一个推论

    x = x0 +k*(b/gcd(a,b)) 

    y = y0-k*(a/gcd(a,b)) 

    k为任意正整数 可以带入方程中算一下,依然满足方程。

    那么也就是说x的变化幅度为b / gcd(a,b)

    令d = gcd(a,b), B = b

    那么最小正整数解就是 (x * (K / d)) % (B/d) + (B/d)) % (B/d)

    x * (K / d)是一个解,然后模掉(B/d),也就是变成和0最近的解

    如果是负数,再加上一个(B/d)就整数,然后再模一个(B/d)不会改变值

    如果是整数,加上(B/d)再模(B/d)也不会改变值。

    所以这样求出来的就是最小正整数解。

    最后数论尽量用long long 保险一些,反正一般不开数组,只是开变量,不会耗很多空间,不开白不开。

    #include<cstdio>
    #include<cctype>
    #define REP(i, a, b) for(int i = (a); i < (b); i++) 
    #define _for(i, a, b) for(int i = (a); i <= (b); i++) 
    using namespace std;
    
    typedef long long ll;
    void read(ll& x)
    {
    	int f = 1; x = 0; char ch = getchar();
    	while(!isdigit(ch)) { if(ch == '-') f = -1; ch = getchar(); }
    	while(isdigit(ch)) { x = x * 10 + ch - '0'; ch = getchar(); }
    	x *= f;
    }
    
    void exgcd(ll a, ll b, ll& d, ll& x, ll& y)
    {
    	if(!b) { d = a; x = 1; y = 0; }
    	else { exgcd(b, a % b, d, y, x); y -= x * (a / b); }
    }
    
    int main()
    {
    	ll a, b, m, x, y, d;
    	read(a); read(b); read(m); 
    	ll A = a, B = -m, K = b;
    	exgcd(A, B, d, x, y);
    	if(K % d != 0) puts("no solution!");
    	else printf("%lld", ((x * (K / d)) % (B/d) + (B/d)) % (B/d));
    	return 0;
    }
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/sugewud/p/9819361.html
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