由 [SDOI2012]Longge的问题 探讨欧拉函数和莫比乌斯函数的一些性质和关联

本题题解

题目传送门：https://www.luogu.org/problem/P2303

给定一个整数(n)，求

[sum_{i=1}^n gcd(n,i) ]

蒟蒻随便yy了一下搞出来个(O(sqrt{n}))的算法 这题数据怎么这么水

首先看到gcd我们就下意识的对它反演一波对吧

第一步

[sum_{i=1}^n gcd(n,i) = sum_{d|n} varphi(d) frac{n}{d} ]

这里提供两种化法，得到的结果都是这个。

法一

根据欧拉函数和式

[n = sum_{d|n} varphi(d) ]

暴力推导即可

[egin{aligned} sum_{i=1}^n gcd(n,i) &= sum_{i=1}^n sum_{d|gcd(n,i)} varphi(d) \ &= sum_{d|n} sum_{i=1}^{frac n d} varphi(d) \ &= sum_{d|n} varphi(d) frac n d end{aligned} ]

法二

根据欧拉函数的定义式

[varphi(n) = sum_{i=1}^n [gcd(n,i) = 1] ]

PS：(varphi(n))表示(1)~(n-1)内与(n)互质的数，将和式上界提升到(n)不但不会影响正确性（(gcd(n,n) = n eq 1)），而且让(varphi(1))不用特判。

易得

[egin{aligned} sum_{i=1}^n gcd(n,i) &= sum_{d|n} d sum_{i=1}^n [gcd(n,i) = d] \ &= sum_{d|n} d sum_{i=1}^{frac n d} [gcd(frac n d,i) = 1] \ &= sum_{d|n} d varphi(frac n d) \ &= sum_{d|n} varphi(d) frac n d \ end{aligned} ]

这一步还是比较简单的。稍有基础的同学大概都会吧

第二步

令

[g(n) = sum_{i=1}^n gcd(n,i) = sum_{d|n} varphi(d) frac{n}{d} ]

我们希望求(g)的在(n)的函数值。容易发现右式是狄利克雷卷积(varphi * Id)，也就是说(g)也是积性函数。所以考虑质因数分解(n)，最后用积性累乘出来

即

[g(n) = g({p_1}^{c_1}) g({p_2}^{c_2}) ... g({p_n}^{c_n}) ]

则只需求(g(p^c))（这里省略下标）

(p^c)的因数分别为(1)，(p)，(p^2)，...，$ p^c$

所以有

[egin{aligned} g(p^c) &= sum_{i=0}^{c} varphi(p^i) frac{p^c}{p^i} \ &= sum_{i=0}^{c} varphi(p^i) p^{c-i} end{aligned} ]

求(varphi(p^c))

考虑先弄出上式中(varphi(p^i))的封闭形式，再带回原式看看

根据欧拉函数通式

[varphi(n) = n prod_{i=1}^k (1 - frac 1 {p_i}) ]

（这个(pi)指的是分解质因数）

易得

[egin{aligned} varphi(p^c) &= p^c (1 - p) \ &= p^c - p^{c-1} end{aligned} ]

注意这个式子需要在(c=0)时特判，因为(varphi(1) = 1)（(1)可以视作分解不出任何质因数）

求(g(p^c))

得到了(varphi(p^c))，带回之前未推完的(g(p^c))的式子，得

[egin{aligned} g(p^c) &= sum_{i=0}^{c} varphi(p^i) p^{c-i} \ &= p^c + sum_{i=1}^{c} (p^i - p^{i-1}) p^{c-i} \ &= p^c + sum_{i=1}^{c} (p^c - p^{c-1}) \ &= p^c + c (p^c - p^{c-1}) \ &= (c+1)p^c - c p^{c-1} end{aligned} ]

（中途对(i=0)进行了特殊讨论）（该式同样不适用于(c=0)的情况）

然后积性合并起来就完了

冷静分析一波时间复杂度。质因数分解消耗(O(sqrt n))的时间复杂度，分解出不超过(O(log_2 n))个(p^c)，每个(g(p^c))的计算是(O(1))的。所以总时间复杂度为(O(sqrt n))

代码

非常简单的代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<ctime>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;

ll p[1005],c[1005],g[1005];ll kN;
void Div(ll n){
	kN=0;
	for(ll i=2;i*i<=n;i++){
		if(n%i==0){
			kN++;p[kN]=i;
			g[kN]=1;
			ll e=0;while(n%i==0) e++,n/=i,g[kN]*=i;
			c[kN]=e;
		}
	}
	if(n!=1) kN++,p[kN]=n,c[kN]=1,g[kN]=n;
}
ll N;
int main(){
	cin>>N;
	Div(N);
	ll pdt=1;
	for(int i=1;i<=kN;i++) pdt=pdt*((c[i]+1)*g[i]-c[i]*g[i]/p[i]);
	cout<<pdt;
	return 0;
}

这式子长得跟小粉兔菊苣的题解很像？

更多思考

坐车时无聊在草稿纸上瞎搞出来的

拓展到莫比乌斯函数

第一步化完后，我们得到这样一个函数

[g(n) = sum_{d|n} varphi(d) frac{n}{d} ]

然后我们用质因数分解弄出了一个求它单点函数值的方法

可不可以把它拓展到莫比乌斯函数上呢？

[g(n) = sum_{d|n} mu(d) frac{n}{d} ]

直接仿照上面化(varphi)的方法来

根据莫比乌斯函数定义，易得

[mu(p^c) = -[c=1] ]

同样需要特判(c=0)的情况

带回得

[egin{aligned} g(p^c) &= sum_{i=0}^{c} mu(p^i) p^{c-i} \ &= p^c + sum_{i=1}^{c} -[i=1] p^{c-i} \ &= p^c - p^{c-1} end{aligned} ]

（该式同样不适用于(c=0)的情况）

挺简洁的对吧（

小小的总结

总结一下，首先我们发现要求的(g(n) = sum_{d|n} f(d) frac{n}{d})是积性函数，所以考虑分解质因数，简化枚举因数的过程为(g(p^c) = sum_{i=0}^{c} f(p^i) p^{c-i})。我们分别根据(varphi)和(mu)的特殊性质，化出了它们在(p^c)的函数值，然后代回化简得出(g(p^c))的封闭形式，最后用积性合并起来，就得到了(g(n))

仔细思考一下(varphi)和(mu)的特殊性质。

(varphi(p^i) = p^i - p^{i-1})，而带回后与(p^{c-i})刚好抵消掉了枚举的变量(i)，从而得出封闭形式。也就是说，(varphi)可以这么化是因为待求函数(g)比较特殊，它卷了个(Id)，(frac n d)发挥了抵消作用。

(mu(p^c) = [c=1])，只有在(c=0)或(c=1)时函数非(0)，而这也就把和式简化为仅将(i=0)和(i=1)两项相加。可见(mu)并没有用到(frac n d)的特殊性质，对于狄利克雷卷积是通用的，常用于分解质因数后的处理。比如这道题：洛谷P4464 [国家集训队]JZPKIL

莫比乌斯函数与欧拉函数的相互关系

第一步我们在做什么？

[sum_{i=1}^n gcd(n,i) = sum_{d|n} varphi(d) frac{n}{d} ]

那我同样考虑把它变到莫比乌斯函数上。

思考化该式时用到过的欧拉函数和式，联系到莫比乌斯函数的和式

[[n=1] = sum_{d|n} mu(d) ]

猜想

[sum_{i=1}^n [gcd(n,i)=1] = sum_{d|n} mu(d) frac{n}{d} ]

证明很容易。

[egin{aligned} sum_{i=1}^n [gcd(n,i)=1] &= sum_{i=1}^n sum_{d|gcd(n,i)} mu(d) \ &= sum_{d|n} mu(d) frac n d \ end{aligned} ]

然后你仔细看看左式，这不就是欧拉函数的定义式吗

于是我们找到了一个极其简洁地描述了(mu)和(varphi)关联的公式

[varphi(n) = sum_{d|n} mu(d) frac{n}{d} ]

将本式简单变形就得到了一个更常见的表现形式

[frac {varphi(n)} n = sum_{d|n} frac{mu(d)}{d} ]

额，不过这式子好像也没啥用，至少我没见过要用这个的题

upd 2019/11/04 用狄利克雷卷积证明

突然发现上式可以用狄利克雷卷积非常容易的证明

[egin{aligned} Id &= varphi * I \ Id * mu &= varphi * I * mu \ &= varphi * varepsilon \ &= varphi end{aligned} ]

2019/09/22