AcWing246区间最大公约数（线段树+数学）

题目地址：https://www.acwing.com/problem/content/247/

题目描述:

给定一个长度为N的数列A，以及M条指令，每条指令可能是以下两种之一：

1、“C l r d”，表示把 A[l],A[l+1],…,A[r] 都加上 d。

2、“Q l r”，表示询问 A[l],A[l+1],…,A[r] 的最大公约数(GCD)。

对于每个询问，输出一个整数表示答案。

输入格式

第一行两个整数N,M。

第二行N个整数A[i]。

接下来M行表示M条指令，每条指令的格式如题目描述所示。

输出格式

对于每个询问，输出一个整数表示答案。

每个答案占一行。

数据范围

N≤500000,M≤100000

题解：这道题是区间修改和区间查询。但是由于最大公约数的特性，我们可以改为单点修改。(x,y,z....)的最大公约数与(x,y-x,z-y....)的最大公约数相同

证明，只要证明前者的最大公约数是后者的公约数，并且后者的最大公约数是前者的公约数就可以了。假设，前者的最大公约数为d1,则x%d1=0,y%d1=0,z%d1=0....,那么显而易见x%d1=0,(y-x)%d1=0,(z-y)%d1=0.那么可以知道d1也是后者的公约数

假设后者的最大公约数是d2,则x%d2=0,(y-x)%d2=0,(z-y)%d2=0.....，可以知道x%d2=0,y%d2=0,z%d2=0,...所以d2也是前者的公约数。

通过上面这个数学知识，我们便可以利用差分数组来进行求解，那么区间加和就可以转换为两个单点修改。至于区间[l,r]的最大公约数,可以求出sum[l]和[l+1,r]的最大公约数，让二者再求公约数。注意线段树中存储的是元数组的差分数组。

AC代码：

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N=5e5+10;
#define ll long long int
struct node{
    int l,r;
    ll sum,gc;
}tr[4*N];
ll last=0,x;

ll gcd(ll a,ll b){
    if(b==0) return a;
    return gcd(b,a%b);
}

struct node pushup(struct node &a,struct node &b,struct node &c){
    a.sum=b.sum+c.sum;
    a.gc=gcd(b.gc,c.gc);
    return a;
}

void pushup(int u){
    pushup(tr[u],tr[u<<1],tr[u<<1|1]);
}

void build(int u,int l,int r){
    tr[u].l=l,tr[u].r=r;
    if(l==r){
        cin>>x;
        tr[u].sum=x-last;
        tr[u].gc=x-last;
        last=x;
        return ;
    } 
    int mid=l+r>>1;
    build(u<<1,l,mid);
    build(u<<1|1,mid+1,r);
    pushup(u);
    return ;
}

void modify(int u,int x,ll d){
    if(tr[u].l==x&&tr[u].r==x){
        tr[u].sum+=d;
        tr[u].gc+=d;
        return ;
    }
    int mid=tr[u].l+tr[u].r>>1;
    if(x<=mid) modify(u<<1,x,d);
    if(x>mid) modify(u<<1|1,x,d);
    pushup(u);
    return ;
}

struct node query(int u,int l,int r){
    if(l>r) return node({0});
    if(tr[u].l>=l&&tr[u].r<=r){
        return tr[u];
    }
    int mid=tr[u].l+tr[u].r>>1;
    struct node a1,a2,a;
    if(l<=mid) a1=query(u<<1,l,r);
    if(r>mid) a2=query(u<<1|1,l,r);
    if(l<=mid&&r>mid) return pushup(a,a1,a2);
    else if(l<=mid) return a1;
    else return a2;
    
}

int main(){
    int n,m;cin>>n>>m;
    build(1,1,n);
    char ch;
    ll l,r,d;
    while(m--){
        cin>>ch>>l>>r;
        if(ch=='C'){
            cin>>d;
            modify(1,l,d);
            if(r<n) modify(1,r+1,-d);
        }
        else {
            struct node left=query(1,1,l),right;
            if(l+1<=r)  right=query(1,l+1,r);
            else {
                right.gc=left.sum;
            }
            cout<<abs(gcd(left.sum,right.gc))<<endl;
        }
    }
    return 0;
}

写于：2020/8/28 9:19