使用分治法求最大子序列之和

对于求最大子序列之和，对于我这样的菜鸟，首先想到的应该是最暴力的方法，就是将所有的子序列的和进行比较，然后出现最大值并返回答案。不过这也没啥意思，复杂度O(N2).

对这个问题，有一个相对复杂的O(NlogN)的解法，就是使用递归。其主要思想是：比较左、右、中间三部分的序列和的大小，因为中间部分是没办法分治的，只能在每一层递归函数空间里面进行,所以递归的部分为左、右，而且左右部分序列和有分别为次层递归的结果。递归的基本边界：左右为相同位置元素，即只有一个元素.

private static int maxSumRec(int [] a , int left , int right){
　　if( left == right ){//边界①
　　　　if( a[left] > 0 )
　　　　　　return a[left];
　　　　else
　　　　　　return 0;
　　}
　　//递归分治部分②
　　int center = (left + right) / 2;
　　int maxLeftSum = maxSumRec( a, left, center);
　　int maxRightSum = maxSumRec( a, center + 1, right);

　　//对改层的部分进行数据处理③
　　int maxLeftBorderSum = 0,　leftBorderSum = 0;
　　for( int i = center; i >= left; i--){
　　　　leftBorder += a[i];
　　　　if( maxLeftBorderSum < leftBorderSum)
　　　　　　maxLeftBorderSum = leftBorderSum;
　　}
　　
　　int maxRightBorderSum = 0, leftBorderSum = 0;
　　for( int i = center + 1; i <= right; i ++){
　　　　rightBorderSum += a[i];
　　　　if( maxRightBorderSum > rightBorderSum)
　　　　　　maxRightBorderSum = rightBorderSum;
　　}

　　//返回
　　return max3( maxRightBorderSum + maxLeftBorderSum , maxLeftSum , maxRightSum);
}

复杂度:

如果数据量为N,①与数据两无关,时间为常数;③为数据处理部分,时间为O(N);②为递归部分,每一层的该处时间消耗总与上一层有关,并有T(N)=T(N/2)+O(N)的关系.

最后计算得T(N)=O(NlogN).

下面是一个时间复杂度更小(O(N))的算法:

该算法更为简便之处是忽略了对子序列的寻找比较,而是根据规律直接找出最佳答案.

对于含有正数的序列而言,最大子序列肯定是正数,所以头尾肯定都是正数.我们可以从第一个正数开始算起,每往后加一个数便更新一次和的最大值;当当前和成为负数时,则表明此前序列无法为后面提供最大子序列和,因此必须重新确定序列首项.

public class maxSubSumS {
    public static int maxSubSum(int [] a ){
        int maxSum = 0 , thisSum = 0;
        for( int i = 0; i < a.length ; i ++ ){
            thisSum += a[ i ];
            if(thisSum > maxSum)
                maxSum = thisSum;
            else if(thisSum < 0)
                thisSum = 0;
        }
        return maxSum;
    }
}