[题解]（gcd/lcm）luogu_P1072_Hankson的趣味题（NOIP2009）

连续三次不开longlong导致wa！！！

不开longlong一时爽，一会提交火葬场！！！

OI千万条，longlong第一条

乘法不longlong，提交两行泪

暴力luogu就能过了？？？打好暴力的重要性！！！（事实上只能拿90分）

1.暴力

根据lcm(x,b0)==b1可以发现x一定是b1的约数，所以枚举用试除法b1的约数，暴力判断是否符合条件

（数学题发现性质的重要性

复杂度O（n*sqrt(b1)*log(b1)），预处理出1~sqrt（2*1e9）的所有质数，用搜索组成d的所有约数，在判断是否满足可过

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll aa,ba,ab,bb,ans;
inline ll gcd(ll a,ll b){
    return b?gcd(b,a%b):a;
}
inline ll lcm(ll a,ll b){
    return a*b/gcd(a,b);
}
void div(ll n){
    for(int i=1;i*i<=n;i++){
        if(n%i==0){
            ll g=gcd(i,aa),l=lcm(i,ba);
            if(g==ab && l==bb)ans++;
            if(n/i!=i){
                ll g=gcd(n/i,aa),l=lcm(n/i,ba);
                if(g==ab && l==bb)ans++;
            }
        }
    }
}
int main(){int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        ans=0;
        scanf("%d%d%d%d",&aa,&ab,&ba,&bb);
        div(bb);
        printf("%lld
",ans);
    }
}

2.正解

因为x是b1的约数，所以x的质因子一定是b1的质因子。可以对b1的每个质因子p，计算x可能包含多少个p。

设a0,a1,b0,b1,x有质因子p个数为ma0,ma1,mb0,mb1,mx，mx未知

思考可以得出：

对于gcd（x，a0）=a1：

（1）若ma0>ma1,则mx只能等于ma1

（2）若ma0==ma1,则只需满足mx>=ma1

（3）若ma0<ma1,无解

对于lcm（x，b0）=b1：

（1）若mb0<mb1,mx只能等于mb1

（2）若mb0==mb1,只需满足mx<=mb1

（3）若mb0>mb1,无解

综合分类讨论（恶心），其他情况组合判断即可

对于ma0==ma1 && mb0==mb1的情况，只要保持在ma1<=mx<=mb1的范围内取值即可，共有md-mc+1种取法

每个质因子都是相对独立的，根据乘法原理，总取值即为每次的答案相乘。

预处理出1~sqrt（1e9）中的素数，若b1为质数，那么直接计算有质因子b1的个数即可

复杂度O（n*sqrt（b1）/ log（b1）)

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
//±©Á¦£º 
//ll aa,ba,ab,bb,ans;
//inline ll gcd(ll a,ll b){
//    return b?gcd(b,a%b):a;
//}
//inline ll lcm(ll a,ll b){
//    return a*b/gcd(a,b);
//}
//void div(ll n){
//    for(int i=1;i*i<=n;i++){
//        if(n%i==0){
//            ll g=gcd(i,aa),l=lcm(i,ba);
//            if(g==ab && l==bb)ans++;
//            if(n/i!=i){
//                ll g=gcd(n/i,aa),l=lcm(n/i,ba);
//                if(g==ab && l==bb)ans++;
//            }
//        }
//    }
//}
//int main(){int T;
//    scanf("%d",&T);
//    while(T--){
//        ans=0;
//        scanf("%d%d%d%d",&aa,&ab,&ba,&bb);
//        div(bb);
//        printf("%lld
",ans);
//    }
//}
//Õý½â£º 
ll aa,ba,ab,bb,ans=1;
int prime[10000],ck[50009],tot;
inline void div(int p){
    int ma0=0,ma1=0,mb0=0,mb1=0;
    while(aa%p==0){ma0++;aa/=p;}
    while(ab%p==0){ma1++;ab/=p;}
    while(ba%p==0){mb0++;ba/=p;}
    while(bb%p==0){mb1++;bb/=p;}
    if((ma0<ma1)||(mb0>mb1)) ans=0;
    else if((ma0==ma1)&&(mb0<mb1) || (ma0>ma1)&&(mb0==mb1)){
        if(ma1>mb1)ans=0;
    }
    else if((ma0==ma1)&&(mb0==mb1)){
        if(ma1<=mb1)ans*=(mb1-ma1+1);
        else ans=0;
    }
    else if((ma0>ma1)&&(mb0<mb1)){
        if(ma1!=mb1)ans=0;
    }
}
int main(){
    for(int i=2;i<=50000;i++){
        if(!ck[i])prime[++tot]=i;
        for(int j=1;j<tot;j++){
            if(i*prime[j]>50000)break;
            ck[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0)break;
        }
    }
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        ans=1;
        scanf("%d%d%d%d",&aa,&ab,&ba,&bb);
        for(int i=1;i<=tot;i++){
            div(prime[i]);
            if(ans==0)break;
        }
        if(bb>1)div(bb);//²»È»»áwaÒ»¸öµã 
        printf("%lld
",ans);
    }
}