1.高斯消元
在模意义下依然有效，对主元求逆即可。
甚至可以模合数，需要对两个方程辗转相除，复杂度(O(n^3log p))。
辗转相除法只要能定义带余除法就有效。
- 逆矩阵：对于矩阵(A)，定义逆矩阵(A^{-1})为满足(Acdot A^{-1}=A^{-1}cdot A=e)的矩阵。
求逆矩阵可以高斯消元。设有(Acdot A^{-1}=e)的形式，把(A)消元成单位矩阵的过程中，对方程右侧进行同样的操作。
应用：设有方程(Acdot x=b)（大写字母为矩阵，小写字母为向量），对于不同的(b)多次求解，可以转化为(x=A^{-1}cdot A cdot x=A^{-1}cdot b)的形式，避免每次高斯消元。
- 例题
题意：(n)个点的图，有(k)个关键点，对每对关键点((i,j))，求出从(i)出发随机游走，遇到的第一个关键点是(j)的概率。
Sol:
枚举终点(k)，设(f_i)表示从(i)出发，走到的第一个关键点是(k)的概率。
对每个关键点设一个只进不出的虚点(i')，只有当前枚举的终点的(f_{k'}=1)，其余为(0)。
然后发现每次高斯消元的不同点只有常数项，那么把常数项看作一个向量，每一维代表终点为(k)时该行的对应系数。这样直接消元就行了。
- 行列式
一个结论：设有两个矩阵(A,B)，则(det(Acdot B)=det(A)det(B))。
算三角形面积常用的叉积，本质是一个行列式。
可以扩展到(d)维空间，用行列式计算体积。
另一个结论：设有(d)个变量，均满足(x_i leq 0)，且(sum x_ileq s)，点((x_1,x_2,…,x_d))构成的集合的体积(=frac{S^d}{d!})。（相当于(d)个只有一维是(S)的向量的积的行列式）
- 例题
题意：给(n-1)维空间下(n+1)个点，保证每个点的每一维坐标(in {0,1})，求凸包体积。
Sol:
首先题意保证了每个点都不会在凸包的内部。
如果只有(n)个点，可以直接解行列式求体积。
现在转化到(n+1)个点，发现把每个大小为(n)的点集的凸包体积求和后，每个点被算了两次。
证明？咕咕咕。
注意由于叉积有方向，最后要取绝对值，计算的时候不能取模，需要求出精确值。
- 矩阵树定理
构造：主对角线为每个点的度数，其余的位置有边则为(-1)，否则为(0)。去掉头可以吃一行一列后求行列式即为生成树个数。
证明？咕咕咕。
有向图的有根树形图计数：令(g_{i,i})为(i)的入度，(g_{i,j})为(i)到(j)的边数的相反数，则以(i)为根的图个数即为去掉第(i)行第(i)列的行列式。
推论（BEST定理）：(n)个点有向图，其欧拉回路的个数为以任意一点为根的树形图个数( imes sum (dgr_i-1)!)。
证明？咕咕咕。
- 例题：
题意：(n)个点，({n-1,n})条边的图，每条边重复(t_i)次，求欧拉回路个数。(n, t_i leq 1000)。
Sol:
发现对每条边定向之后就可以用BEST定理算出欧拉回路个数。
先考虑(n-1)条边的图，显然每条边两个方向都是(frac{t_i}{2})次，随便定向之后用BEST定理即可。
扩展到(n)条边之后，对于森林部分是相同的解法，主要问题在于环上的边
方向不确定。但是发现枚举任意两个点之间各方向边数，即可(O(n))推出环上其他点之间边数。
树形图个数可以手算，因为一定是环上某个位置切断，维护两个方向的前缀积即可，复杂度(O(nt))。
- 带状矩阵
定义：所有非(0)元素都在主对角线周围不超过(d)的距离内。
高斯消元时，每次只需要用长为(d)的向量消(d)行，复杂度(O(nd^2))。
换主元的时候不能向下换一行，否则会破坏性质。
可以向右找一列换（相当于交换了两个变量顺序）。
用途：网格图随机游走等。
- 例题：
一开始在((0,0))，每次随机一个方向走（四个方向概率可能不同），问距原点欧几里得距离超过(R)的期望步数。(R leq 50)。
Sol:
很板。把需要的点都拉出来，拍扁之后就是带状矩阵，直接解，复杂度(O(R^4))。
- 主元法
对于很多网格问题，发现如果确定一行（或一列），那么整个网格的状态都可以递推出来。
那么把第一行的状态设为未知数，可以在(O(n^2m))的时间内把每个格子的状态表示为第一行状态的线性组合。在最后一行往往可以列出方程，高斯消元即可。
对于上面的例题，可以把每一行最左边的点状态设为未知数，在最右边列出方程（因为再往右都是(0)），可以做到(O(R^3))。
突然发现dls讲了一个半小时的高斯消元
2.线性空间
线性空间定义在数域上，满足对加减法和数乘是封闭的。（虽然并没有什么用）
基的定义跟数学上那一套没啥区别，详情请参阅必修四。
模(p)意义下，如果维数是(d)，那么共有(p^d)个元素（大概可以理解为一个(d)维向量）。
- 例题（1）
题意：一个序列，支持末尾加数，询问区间中若干数xor最大值。(n, q leq 5e5, a_i leq 2^{30}-1)。
Sol:
考虑离线，扫描线维护一个线性基。线性基内每个元素维护一个加入时间（因为是扫描线，所以其实就是位置），每次加入新元素的时候，如果某个位置已有元素，则保留位置较右的那个，另一个递归下去。
每次询问的时候只需要找出加入时间大于左端点的元素即可。（跟山东省集的某道题很像）
- 例题（2）
有一个(n imes m)的矩阵，要求选若干个数，使每行每列均有奇数个，且乘积为完全平方数，求方案数。(n,m leq 20, a_{i,j}leq 10^9)。
对每行、每列和每个质因子列异或方程组，解出自由元个数即可。
- 伴随矩阵
定义：设矩阵(adj(A))，使得(adj(A)_{i,j}=c_{j,i})，即矩阵(A)去掉第(j)行(i)列的代数余子式。
性质：(Acdot adj(A)=adj(A)cdot A=det(A)cdot I)
证明：掉线了，咕咕咕。
上面那个性质的作用？大概是可以通过矩阵求逆算伴随矩阵……
不可逆咋办？能做，但是我又掉线了……
- Tutte Matrix
黑科技，比带花树靠（hao）谱（xie）多了。
给任意无向图(G)的每条边赋一个独一无二的权值(x_{u,v})，不存在则为(0)，定义矩阵(A)的Tutte Matrix为矩阵(B)，则(B_{i,j}=x_{i,j}cdot (-1)^{[i>j]})。
(G)有完美匹配，当且仅当(det(B) ot=0)。
为什么？不知道。
(B^{-1}~_{i,j} ot=0)当且仅当(G-(i,j))有完美匹配。
为什么？不知道。
能干什么？可以处理一些相关的计数问题，大概。
(G)的最大匹配(=frac{rank(B)}{2})。
为什么？不知道。
少女掉线中……
3.特征多项式
定义到处都有就不抄了
- 矩阵对角化：
设(A)的特征向量为({x_1,x_2,…x_n})，对应的特征值为({lambda_1,lambda_2,…,lambda_n })，矩阵(P=[x_1,x_2,…,x_n])，对角矩阵(D={lambda_1,lambda_2,…,lambda_n })，则(Acdot P=Pcdot D)。
用处：(A=Pcdot D cdot P^{-1})，则(A^k=Pcdot D^k cdot P^{-1})，然后对角矩阵的(k)次很好算……
然而局限性很大，基本只能手推。
dls推了个题，我掉线了。
- 哈密尔顿-凯莱定理：
把一个矩阵代入到它的特征多项式的方程里是成立的。
然后就又掉线了。
反正这东西唯一的作用就是(O(klog klog n))内解决(k)阶线性递推，还是左转洛谷模板区吧（