2阶常系数线性齐次递推关系

2阶常系数线性齐次递推关系

如果an的递推关系满足

a_n+C₁a_n-1+C₂a_n-2+...+C_Ka_n-k=0,

且初值为 a₀=d₀,a₁=d₁,...,a_k-1=d_k-1,则称这个等式为k阶常系数线性齐次递推关系（linear homogeneous relation of degree k)

四个因素：

1，k阶

2，常系数

3，线性组合

4，齐次(不存在非0项)，等式右边为0

多项式

x_k+C₁x_k-1+C₂x_k-2+...+C_k=0

称为它的特征多项式或特征方程(characteristic equation),其根称为特征根(characteristic root)。

例1，f1=1，f2=1，fn=fn-1+fn-2

特征方程是x²-x-1=0

2,a1=1,a2=3,a_n=4a_n-1-4a_n-2

特征方程是x²-4x+4=0

解法：

假设a，b是an=c₁a_n-1+c₂a_n-2的特征方程x²-c₁x-c₂=0的两个根

a_n=(a+b)a_n-1-(a*b)a_n-2(韦达定理)

容易验证有a_n-a*(a_n-1)=b *(a_n-1-a *a_n-2)(等比数列)

递推可以得到：

a_n-a*a_n-1=b(a_n-1-a *a_n-2)=b²(a_n-2-a *a_n-3)=...=b^n-1(a₁-a *a₀)

由此倒推得到

a_n-aⁿa₀=（b^n-1+a *b^n-2+a² *b^n-3+...+a^n-1）(a₁-a *a₀)

假设a,b是a_n=c₁a_n-1+c₂a_n-2的特征方程x²-c₁x-c₂=0的两个根

若a≠b，则a_n=uaⁿ+vbⁿ,其中u,v由初值决定

若a=b，则an=a₀ *aⁿ+(a₁-a*a₀）n*a^n-1

回到第一个例子

f1=1，f2=1，fn=fn-1+fn-2

特征方程是x²-x-1=0

两个特征根可以解出来s₁,s₂，

于是fn=us₁ⁿ+vs₂ⁿ

由f1=1和f2=1得到两个方程带入可解出u和v

斐波那契数列的显性公式为

回到第二个例子

a1=1,a2=3,a_n=4a_n-1-4a_n-2

特征方程x²-4x+4=0

特征根a=2，重数为2可以求出a₀=1/4

于是带公式可知a_n=(1+n)*2^n-2