n的阶乘在m进制下末尾有多少0

牛客-water

 1，斐波那契数，递推

2，皇后数打表

3，进制转换

代码：

#include<bits/stdc++.h>
/*#include<iostream>
#include<string>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<iomanip>
#include<queue>
#include<cstring>*/
using namespace std;
const int maxn=100;
const int mod=19260817;
const int inf=0x3f3f3f3f;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
const int N=5e5+10;

ll x;
int m;
int ans[]={0,1,0,0,2,10,4,40,92,352,724,2680,14200,73712};
ll f[maxn];

void solve()
{
    ll res=1e18;
    for(int i=2; i<=m; i++)
    {
        int cnt=0;
        while(m%i==0)
        {
            cnt++;
            m/=i;
        }
        if(cnt)
        {
            ll n=x,sum=0;
            while(n)
            {
                sum+=n/i;
                n/=i;
            }
            res=min(res,sum/cnt);
        }
    }
    cout<<res<<endl;
}
int main()
{
    cin>>x>>m;
    f[1]=f[2]=1;
    for(int i=3; i<maxn; i++)
     f[i]=f[i-1]+f[i-2];
    int flag=0;
    for(int i=1; i<maxn; i++)
    {
        if(x==f[i])
         {
             flag=1;
             solve();
             break;
         }
    }
    int z=x%min(13,m)+1;
    if(!flag)
      cout<<ans[z]<<endl;;
    system("pause");
    return 0;
}

n的阶乘在m进制下末尾0的个数

10进制下的500可以写成5*10^2;

2进制下的100可以写成1*2^2；

得到结果，末尾有几个0，幂就为几；

求一个数n在m进制下0的个数，实际上就是求出满足n=a*m^k,最大的k

那么求：n！=a*m^k;最小的k

1，对n！分解质因数；

 任何一个数都可以分解成为若干质因数的乘积

设n!=a*m^k=a*(p₁^q₁,p₂^q₂,…,p_n^q_n)^k，可以求出n!中p₁,p₂,…,p_n的出现次数，假设分别为x₁,x₂,…,x_n，那么有x₁=k₁q₁，x2=k₂q₂，…，x_n=k_nq_n。因为a的影响，显然最终的答案k = min{ k₁,k₂,…,k_n };

已知q1=m%p1直到不能整除；（按最大计算，最后k取最小）

则k=sum/q1；（sum某一质因子个数，）；

代码：（可以打表，也可以直接素数筛）；//这里是打表；

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int maxn=1e5+10;
const int mod=19260817;
const int inf=0x3f3f3f3f;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
const int N=5e5+10;

ll prime[] = {0, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97};
ll ind[108];//有几个素数即q1的值
ll cnt[108];//存q1*k；
 
ll getcnt(ll p,ll x)//获得q1*k的值
{
    ll res=0;
    while(x){
        res+=x/p;
        x/=p;
    }
    return res;
}
 
int main()
{
    ll n,m;
    cin>>n>>m;
    int mm=m;
    for(int i=1;i<=25;i++)
    {
        while(mm%prime[i]==0)
        {
            ind[prime[i]]++;
            mm/=prime[i];
        }
    }

    for(int i=1;i<=25;i++)
    {
        if(ind[prime[i]])
        {
            cnt[prime[i]]=getcnt(prime[i],n);
        }
    }

    ll ans=1e18+1;
    for(int i=1;i<=25;i++)
    {
        if(ind[prime[i]])
        {
            ans=min(ans,cnt[prime[i]]/ind[prime[i]]);//所有k取最小值；
        }
    }
    cout<<ans<<endl;
    system("pause");
    return 0;
}