浅谈动态规划
动态规划问题经常出现在各种算法竞赛和面试中。需要说明的问题是，这里的动态规划比较广义，也包括一部分组合计数问题。最近感觉对这类问题有了一些认识和心得。从认识方面上，我试图找到一种对动态规划问题的通用解释。在心得上，尽管限于经验和练习量有限，不是次次都能解出，我暂时探索出了一套比较好的思路。
在这里我们以一个经典问题为例：
给出一个 n 行 n 列的三角形，形如：
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
从顶端出发，每次可以选择向左或者向右走，求一条路径，从顶走到底，使路径上的和最大。
问题的解法大家都知道：设 ( DP_{i,j} ) 表示走到第( i )行，第( j )列的最优解，( Tri_{i, j} )表示第( i )行，第( j )列的数字，则有 [ DP_{i,j} = max(DP_{i-1,j}, DP_{i,j-1}) + Tri_{i,j} ] 问题的解为 [ max{DP_{n,i}} ] 暂时忘记结论，我的想法如下：
首先，考虑状态的编码。我们知道，搜索问题和动态规划问题，都需要设计状态。显然同一个状态有不同的编码方法。对于这个问题的一个状态：
{
访问序列 = 7,8,1
当前位置 = (3,2)
当前和 = 16
}
我们有若干方法编码：
- 记录决策，L 代表左，R 代表右：RL => 16，使用二进制可以编码成：( (10)_{2} )
- 记录当前位置：第 3 行第 2 列：(3, 2) => 16
直接搜索产生可行解集的过程如下：
{} ->
{L,R} ->
{LL, LR, RL, RR} ->
{LLL, LLR, LRL, LRR, RLL, RLR, RRL, RRR}
问题的复杂度是指数级。
我们考虑动态规划的性质：最优子结构和无后效性。所以对于当前问题，我们只关心当前位置，而不关心历史信息。编码方法 RL 保留了历史信息，而 (3, 2) 没有。由于信息损失，多个不同的状态，可能有相同的编码。我们进行演算：
{(1,1) => {}} ->
{(2,1) => {L}, (2,2) => {R}} ->
{(3,1) => {LL}, (3,2) => {LR, RL}, (3,3) => {RR} } ->
{(4,1) => {LLL}, (4,2) => {LLR, LRL, RLL, }, (4,3) => {LRR, RLR, RRL}, (4,4)=>{RRR}}
根据最优子结构，位置(4, 2) 和 (4, 3) 的最优解，只可能由位置 (3, 2) 的最优解产生。具体来说，因为 7 + 8 + 1 > 7 + 3 + 1，所以 7 + 8 + 1 + X > 7 + 3 + 1 + X。于是对于所有编码同为 (3, 2) 的方案，我们只保留最优的，这样做相当于实现了搜索的剪枝，计算步骤如下：
{} ->
{(2,1) => {L}, (2,2) => {R}} ->
{(3,1) => {LL}, (3,2) => {LR, RL}, (3,3) => {RR} } 剪枝 ->
{(3,1) => {LL}, (3,2) => {RL}, (3,3) => {RR} } ->
{(4,1) => {LLL}, (4,2) => {LLR, RLL}, (4,3) => {RLR, RRL}, (4,4)=>{RRR}} 剪枝 ->
{(4,1) => {LLL}, (4,2) => {LLR}, (4,3) => {RLR}, (4,4)=>{RRR}}
于是，问题的状态空间，从指数级映射到了 ( O(n^{2}) )，且没有丢解。
于是，我认为动态规划的本质是在搜索法的前提下，对状态重新编码，将编码相同的状态组织起来，并利用最优子结构的性质剪枝（或加法、乘法原理计数）。而解决动态规划的核心就是考虑用恰当的方法编码状态，保留解决问题需要的全部信息，且尽可能的简单。
其他一些例子和想法：
石子合并
- 记忆化搜索：适合数学苦手，推不出显示的公式。
- 记得某次TC 500，我逼急了，直接用字符串编码当前状态，记忆化搜索，居然也过了，之后看题解，很类似石子合并。这也算是我写本文的一个动机吧，只要找到了一个正确的编码，能够将状态重新组织起来，方式可能有很多，甚至这么搞，不卡常数也是可以的。。。
- 本文只是讨论了如何设计问题的状态。对于优化转移，一些情况下可以使用一些数据结构的支持，一些情况下可以通过四边形不等式，单调队列等，技能暂时没有 get，暂不讨论。
0-1背包问题
- 动态规划做法，本质上是另一种编码方式。当背包体积为整数且范围不大的时候，这种编码方法是优于暴力枚举的。反过来说，如果背包体积的取值范围很大，这样做相当于把一个一一映射的解空间，映射到一个更大的稀疏的解空间中了，效果可能还不如暴力搜索。
- 显然可以直接记录访问顺序，状态空间是 ( O(N!) )。考虑问题的性质，我们只关心当前位置和还可以访问的点集合，于是，可以以( O(N*2^{N}) ) 编码状态。问题的规模少许得到了简化。举这个例子也是因为我个人的看法，“状态压缩”就是可以直接编码集合，本质还是一样的。