水题记录。
11.2
P5663 加工零件
题解
发现若 (s) 到 (t) 一条路径长度为 (d) ，那么可以通过在一条边上反复折返使得存在一条长度为 (d+2k,kin N) 的从 (s) 到 (t) 的路径。分路径长度的奇偶求出最短路即可。
11.3
P2515 [HAOI2010]软件安装
题解
发现是一个基环树森林，环上的点要么都选，要么都不选，于是可以把环缩成一个点。
缩完点后的图一定是一个森林，可以把所有树根连接到一个虚拟节点上形成一棵树。这样直接树形DP是 (O(nm^2)) 的。可以用DFS序优化到 (O(nm)) 。
在树上DFS，求出后序遍历的DFS序，在DFS序上DP。
设 (mathrm{dp}(i,j)) 表示考虑到后序遍历的 (i) 号结点，背包容量为 (j) 时，所能取得的最大价值。设 (mathrm{size}_i) 表示以 (i) 为根的子树的大小。
- 若取物品 (i) ，则可以取它的子树，所以答案为 (mathrm{dp}(i-1,j-1)+v_i) 。
- 若不取物品 (i) ，则不可以取它的子树，则答案为 (mathrm{dp}(i-mathrm{size}_i,j)) 。
综上可得 (mathrm{dp}(i,j)=max(mathrm{dp}(i-1,j-w_i)+v_i,;mathrm{dp}(i-mathrm{size}_i,j))) 。
P5858 「SWTR-03」Golden Sword
题解
令 (mathrm{dp}(i,j)) 表示考虑到第 (i) 个原料，当前锅中有 (j) 个原料的最大耐久度之和。则有：
单调队列优化即可。
P5020 货币系统
题解
完全背包。
将面值从小到大排序，依次加入。若当前的面值能用之前的面值表示，那么这个面值就是无用的，可以舍去。维护一个背包即可。
P4878 [USACO05DEC]Layout G
题解
差分约束。
判断有无解是基础操作，重点是后两个询问。
因为必须要满足三角形不等式，所以其实从 (1) 到 (n) 的路径长度其实是确定的。具体一点，若有多个点能够到达点 (v) ，为了满足三角形不等式，必须选择这些点中 (dis_u+w(u,v)) 最小的点走，发现这就是最短路。
从虚拟源点跑一遍最短路判断有无解，再从 (1) 号点跑最短路，得出的 (dis_n) 即为所求。
CF804B Minimum number of steps
题解
手玩几组数据不难发现：(a) 的数量总是不变的。我们从左往右扫这个字符串，若遇到一个 (b) ，将它前面的 (a) 全部移到它后面去。因为扫到这个 (b) 时，前面所有的 (a) 已经通过前面的 (b) 移到了当前字符串的末尾，这样保证了新加入的 (b) 一定能够将它之前的 (a) 移到后面去。
通过手玩数据，不难发现另一个结论：若 (b) 前面有 (c) 个 (a) ，那么将这 (c) 个 (a) 全部移到后面去的操作次数为 (sum_{i=1}^c2^{i-1}) 。预处理出这个和式，统计答案。
11.4
CF1366D Two Divisors
题解
假如已经选出了两个因数 (x,y) ，满足 (gcd(x+y,a)=1) 。
令 (d=gcd(x,y)) ，设 (x'=frac{x}{d},y'=frac{y}{d}) ，可以得到式子 (gcd(d imes (x'+y'),a)=1) 。因为 (x,y) 都是 (a) 的因数，那么 (d) 也是 (a) 的因数，则 (gcd(d imes(x'+y'),a)geq d) 。为了满足 (gcd(d imes (x'+y'),a)=1) ，一定有 (d=1) ，则有 (xot y) 。
将 (a) 分解质因数，(a=prod_{i=1}^mp_i^{c_i}) ，取 (x=p_1^{c_1},y=frac{a}{x}) 即可。
P5651 基础最短路练习题
题解
由所有简单环的异或和都为 (0) 可知，两点之间的所有简单路径的长度都是相同的。那么只需要随意求出一条路径即可。
CF1445D Divide and Sum
题解
考试的时候没推出来/kk。
将 (a) 数组升序排序，令 (L={a_1,a_2,cdots,a_n},R={a_{n+1},a_{n+2},cdots,a_{2n}}) 。
有结论：将 (a) 分成任意两个集合 ((p,q)) ，对于任意的 (i) ，(x_i) 和 (y_i) 不会同时在 (L) 或者 (R) 中。
证明：
假设 (x_i) 和 (y_i) 同时在 (L) 中。因为 (p,q) 中元素单调，那么有 (i) 个元素小于等于 (x_i) ，有 (n-i+1) 个元素小于等于 (y_i) ，并且它们互不重合，由于小于等于 (x_i,y_i) 的元素只能在 (L) 中，得出 (L) 中有 (n+1) 个元素，与上文矛盾。
证毕。
那么 (f(p,q)) 的值就是一定的，答案即为：
11.5
P2662 牛场围栏
题解
同余最短路板子题。
求出 (d_i) 后，答案即为：
CF1443B Saving the City
题解
相邻的两个极长 (1) 串只有两种消除方法，要么花费 (2 imes a) 的代价分别消除，要么先将两串中间的 (0) 串变为 (1) ，再一起消除。在两种方法中取最优即可。
P5520 [yLOI2019] 青原樱
题解
考虑先提出放树苗的 (m) 个位置，剩下 (n-m) 个位置，树苗要放在这些位置的 (n-m+1) 个空位中，所以答案为 (A_{n-m+1}^m) 。
P2467 [SDOI2010]地精部落
题解
令 (f_{i,j}) 表示使用数 (1sim i) ，(j) 在第一个位置且为山峰的方案数。有转移：
- 若 (j-1) 不在第二个位置，那么交换 (j) 和 (j-1) 依然合法，则 (f_{i,j}=f_{i,j-1}) 。
- 若 (j-1) 在第二个位置，考虑去掉第一个位置的数 (j) ，剩下有互不相同的 (i-1) 个数，且 (j-1) 在第一个位置且为山谷。为了使 (j-1) 变成山峰，考虑将这 (i-1) 个数中每一个数 (x) 变为 (i-x+1) ，此时依然合法，并且 (j-1) 这个位置变成了山峰（此时 (j-1) 变成了 (i-j+1) ），则 (f_{i,j}=f_{i-1,i-j+1}) 。
综上，有 (f_{i,j}=f_{i,j-1}+f_{i-1,i-j+1}) 。
最后的答案即为 (2 imes sum_{i=1}^nf_{n,i}) 。
11.6
CF1442A Extreme Subtraction
题解
如果这个序列是单调不增的，那么可以通过不断操作前缀使得整个序列变为 (0) 。考虑通过操作后缀使得整个序列变为单调不增。从后往前考虑，设当前枚举到了 (i) ，后缀 ([i+1,n]) 已经变为单调不增，若 (a_igeq a_{i+1}) ，那么无需操作；否则将后缀 ([i+1,n]) 整体减 (a_{i+1}-a_i)，使得 (a_i=a_{i+1}) ，若 (a_n) 减到了 (0) 以下，那么无解。
CF920F SUM and REPLACE
题解
约数个数是 (log) 级别的，也就是说对一个数操作 (log) 次就可以使得这个数再次操作时不再变化。用线段树维护区间内还能操作的数的个数，暴力修改即可，复杂度 (Theta(nlog^2 n)) 。
P4823 [TJOI2013]拯救小矮人
题解
较矮的人一定先出去，所以先按照每个人的高度从小到大排序。考虑在排好序的数组上DP，令 (mathrm{dp}(i)) 表示考虑到第 (i) 个人时，离开了 (j) 个人后人梯的最大高度，从左往右依次考虑每一个人，若能出去就出去，更新DP数组：(mathrm{dp}(i,j)=mathrm{dp}(i-1,j-1)-a_i) 。
P4306 [JSOI2010]连通数
题解
Floyd求解传递闭包板子，用bitset优化一下即可。
11.7
P6801 [CEOI2020]花式围栏
题解
用单调栈维护高度单调上升的矩形。每次加入一个新矩形时，若栈顶的矩形高度小于等于当前矩形，让当前矩形直接入栈；否则，降低栈顶矩形的高度，同时不能破坏栈内的单调性，统计降低的高度对答案的贡献。
P5689 [CSP-SJX2019]多叉堆
题解
用并查集维护树的形态，同时对于每一个树根维护答案 (mathrm{F}) 和子树大小 (mathrm{siz})。
若将 (y) 接在 (x) 下面，则以 (x) 为根的堆的答案 (mathrm{F}'(x)=mathrm{F}(x) imes mathrm{F}(y) imes {mathrm{siz}(x)+mathrm{siz}(y)-1 choose mathrm{siz}(y)}) 。
P5687 [CSP-SJX2019]网格图
题解
将边权相同的边一起考虑，从小到大加入边，判断最多能加入几条边即可。
11.8、11.9、11.10
因为CSP-S爆炸，自闭三天
11.11
P7043 「MCOI-03」村国
题解
发现最后会在两个点之间反复横跳，判断最后停在那个点即可。另外只有一个点的情况需要特判。
CF1443B Saving the City
题解
考虑一段1是和上一段1一起消掉，还是自己消掉，取最优值即可。
11.12
考试
11.13
P3937 Changing
题解
手玩一下样例发现每个数的贡献是杨辉三角的第 (t+1) 层，预处理组合数即可。因为只需要知道奇偶性，所以只需要预处理组合数的奇偶即可。
11.14
买了gmoj的号，感觉有点小贵。
GMOJ100137 胖头鱼的排序
题解
GMOJ1021 【中山市选2008】矩阵
题解
直接乘显然爆炸，但是由于是01矩阵，很容易就能想到用bitset压位。复杂度 (Theta(frac{n^3}{w})) 。
11.15
P1850 换教室
题解
考虑DP，令 (mathrm{dp}(i,j,0/1)) 表示考虑到第 (i) 个时间段，已经申请了 (j) 次，第 (i) 次有没有申请。分类讨论一下第 (i) 和第 (i-1) 个时间段分别有没有申请即可。
GMOJ6806 achen
题解
要多看部分分的提示。
先考虑 (A=1,B=n) 怎么做。令 (mathrm{f}(i)) 表示遍历 (1sim i) 的方案数，有转移式 (mathrm{f}(i)=mathrm{f}(i-1)+mathrm{f}(i-3)) 。
考虑一般情况，如果 (A ot =1) ，那么从 (A) 出发一定要先遍历 (1sim A-1) ，否则后面就遍历不到了，发现有且只有一种方案从 (A) 出发遍历完 (1sim A-1) 后到达 (A+1) 。同理，到达 (B) 之前一定要先遍历 (B+1sim n) ，方案也只有一种。(A+1sim B-1) 的部分用部分分的做法即可。
11.16
GMOJ6866 minmax
题解
考虑点分治。假设由某个分治中心 (x) 开始，计算出了两条路径 (x-u) 和 (x-v) ，它们的边权最大值分别为 (mathrm{Max}_1,mathrm{Max}_2) ，最小值分别为 (mathrm{Min}_1,mathrm{Min}_2) ，分类讨论 (u-v) 何时能够成为答案：
- 若 (mathrm{Max_1}-mathrm{Min_1}<k,mathrm{Max_2}-mathrm{Min_2}<k) ，假设 (mathrm{Max_1}>mathrm{Max_2}) ，那么有 (mathrm{Max_1}-mathrm{Min_2}=k) ，移项得 (mathrm{Max_1}-k=mathrm{Min_2}) ，可以用桶记一下所有的 (mathrm{Min}) ，枚举 (mathrm{Max}) 在桶中查询。
- 若 (mathrm{Max_1}-mathrm{Min_1}=k,mathrm{Max_2}-mathrm{Min_2}leq k) ，可以得到 (mathrm{Max_2}leq mathrm{Max}_1leq mathrm{Min}_2+k) ，开一个值域线段树记录 (mathrm{Max}) ，查询时查询区间 ([mathrm{Max_2},mathrm{Min}_2+k]) 的区间和。
注意当 (mathrm{Max_1}-mathrm{Min_1}=k,mathrm{Max_2}-mathrm{Min_2}=k) 时会算重，需要处理一下。
11.17
上午纪中考试，下午和晚上调T3
11.18
CF1404B Tree Tag
题解
发现只有两种情况 ( ext{Alice}) 会赢：
- (mathrm{dis}(a,b)le da) ，即 ( ext{Alice}) 能一步跳到 ( ext{Bob}) 。
- (2 imes dageq min(len,db)) ，即 ( ext{Alice}) 能把 ( ext{Bob}) 逼到死角，因为 ( ext{Bob}) 跳跃的距离不能超过直径，所以要对直径 (len) 取 (min) 。
GMOJ1022 【中山市选2008】小树
题解
降智题
考虑两个点 (x,y) ，假设 (frac{w_x}{d_x}<frac{w_x+w_y}{d_x+d_y}) ，得：
能够得到：
再做一些变形，还能得到：
显然有：
那么可以得出结论：选一个点一定比选两个点更优。
从根跑一遍dfs即可。