逆元Inv（模板+应用）

逆元：

如果满足公式，则有a 是 b的逆元同时b也是a的逆元。

逆元的应用：

设c为b在对m取余的意义下的逆元；

在求解公式 (a / b) % m的时候，如果b可能会非常的大，所以会出现爆精度的问题，这个时候就需要将除法转换成乘法来做，即：

(a / b )  % m = (a * c)%m。

逆元的求法：

一、扩展欧几里得求逆元

复杂度：O(logn)（实际就是斐波那契数列）

将公式（b、p已知）   a∗b≡1(mod p)   转换为   a∗b+k∗p=1  则有a为b对p取余意义下的逆元，且只有当a与p互质是逆元才存在。

注意：只要存在逆元就可以求，适用于逆元个数不多，但是mod很大的时候。

附一个百度百科的例子加深一下理解：

​

代码：

/*
    Time:2018/8/31
    Writer:Sykai
    Function:利用扩展欧几里得求逆元
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <set>
#include <queue>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int maxn = 1e6 + 100;
const int MOD = 1e9 + 7;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> P;

//公式a∗b+k∗p=1中a即是a，p即是b
ll exgcd(ll a,ll b,ll& x,ll& y)
{
    if(b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    ll res = exgcd(b, a%b, y, x);
    y -= a/b*x;
    return res;
}
//公式a∗b+k∗p=1中a即是a，p即是mod
ll getInv(int a,int mod)//求a在mod下的逆元。如果不存在就返回-1
{
    ll x,y;
    ll res = exgcd(a,mod,x,y);
    return res = 1 ? (x%mod + mod)%mod:-1;//return res = 1?(x + mod)%mod : -1;
}

int main()
{
    ll a = 5;
    printf("%lld\n",getInv(a,MOD));
    return 0;
}

二、费马小定理求逆元

复杂度：O(logn)

费马小定理： 假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么 a^(p-1)≡1（mod p）。

a*a^(p-2) ≡ 1 (mod p),则有a^(p-2)是a的对p取余时候的逆元

注意：当p是素数的时候一般选用费马小定理来求逆元。

代码：

/*
    Time:2018/8/31
    Writer:Sykai
    Function:利用费马小定理求逆元
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <set>
#include <queue>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int maxn = 1e6 + 100;
const int MOD = 1e9 + 7;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> P;

ll qpow(ll a,ll b)//求a*a^(p-2) ≡ 1 (mod p)中a^(p-2)
{
    ll res = 1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            res = res * a % MOD;
        a = a * a % MOD;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

ll getInv(ll a,ll mod)
{
    return qpow(a,mod-2);
}

int main()
{
    int a = 5;
    printf("%lld\n",getInv(a,MOD));
    return 0;
}

三、递推求逆元

复杂度：O(n)

注意：

1、mod需要是质数，求得是1~N关于mod的逆元。

2、适用于mod不是太大，且被多次调用。

3、程序开始前需要预处理打表。

代码：

/*
    Time:2018/8/31
    Writer:Sykai
    Function:线性求逆元
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <set>
#include <queue>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int maxn = 1e6 + 100;
const int MOD = 1e9 + 7;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> P;
ll inv[maxn];//数组的大小需要根据实际情况来调整

void getInv()
{
    inv[1] = 1;
    for(int i = 2; i < maxn; i++)
        inv[i] = (MOD-MOD/i)*inv[MOD%i]%MOD;
}

int main()
{
    getInv();
    printf("%lld\n",inv[5]);
    return 0;
}

四、递归求逆元

复杂度：O(logn)

注意：mod需要是素数（中国剩余定理中不太好用）

/*
    Time:2018/8/31
    Writer:Sykai
    Function:递归求逆元
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <set>
#include <queue>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int maxn = 1e6 + 100;
const int MOD = 1e9 + 7;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> P;
ll inv[maxn];//数组的大小需要根据实际情况来调整

ll getInv(ll x)
{
    if(x == 1) return 1;
    return (MOD-MOD/x)*getInv(MOD%x)%MOD;
}

int main()
{
    printf("%lld\n",getInv(5));
    return 0;
}

五、求阶乘的逆元

代码：（不确定怎么用）

/*
    Time:2018/8/31
    Writer:Sykai
    Function:递归求逆元
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <set>
#include <queue>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int maxn = 1e6 + 100;
const int MOD = 1e9 + 7;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> P;
ll inv[maxn];//数组的大小需要根据实际情况来调整
ll fac[maxn+1];//阶乘数组
ll qpow(ll a,ll b)
{
    ll res = 1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            res = res * a % MOD;
        a = a * a % MOD;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}


int main()
{
    inv[maxn] = qpow(fac[maxn],MOD-2);
    for(ll i = maxn-1; i>=0; i--)
    {
        inv[i] = (inv[i+1]*(i+1))%MOD;
    }
    return 0;
}

参考博客：

https://blog.csdn.net/baidu_35643793/article/details/75268911

https://blog.csdn.net/xiaoming_p/article/details/79644386