并查集路径压缩与启发式合并

 

 

〖程序清单〗

 

 

 

初始化：

 

for i:=1 to n do father[i]:=i;

 

因为每个元素属于单独的一个集合，所以每个元素以自己作为根结点。

 

寻找根结点编号并压缩路径：

 

function getfather(v : integer) : integer;
begin
if father[v]=v then exit(v);
 father[v]:=getfather(father[v]);
 getfather:=father[v];
end; 
//合并两个集合： 
proceudre merge(x, y : integer); 
begin
x:=getfather(x);
y:=getfather(y); 
father[x]:=y; 
end;

 

判断元素是否属于同一集合：

 

function judge(x, y : integer) : boolean;
begin 
x:=getfaher(x);
y:=gefather(y);
if x=y then exit(true) else exit(false);
end;

 

这里有一个优化：让深度较小的树成为深度较大的树的子树，这样查找的次数就会少些。这个优化称为启发式合并。可以证明：这样做以后树的深度为O(logn)。即：在一个有n个元素的集合，我们将保证移动不超过logn次就可以找到目标。 

 

function judge(x,y:integer):boolean; 

 var fx,fy : integer; 

  begin 

     fx := getfaher(x); 

     fy := gefather(y); 

     If fx=fy then  

       exit(true) else  

       judge := false; 

     if rank[fx]>rank[fy] then 

       father[fy] := fx else begin 

       father[fx] := fy; 

       if rank[fx]=rank[fy] then  

         inc(rank[fy]); 

     end; 

  end; 

初始化：

fillchar(rank,sizeof(rank),0);

 

 

并查集的时间复杂度

 

并查集进行n次查找的时间复杂度是O(n)

 

 

它是阿克曼函数（Ackermann Function）的某个反函数。

它可以看作是小于5的。所以可以认为并查集的时间复杂度几乎是线性的。