逆元

　　1、何为逆元

　　有的时候，我们要在模p的意义下，求一个事件的概率期望，这就要用逆元，因为分数很容易除不尽，而a/b在模p意义下即为a*(b在模p意义下的逆元)，这样就能避免无限循环的情况。

　　一个数的逆元定义为：数为a，模数为p，逆元为b，那么，满足a*bmod p=1.

　　2.1、费马小定理求逆元

　　费马小定理能够求数与模数互质情况的逆元，根据费马小定理，若a、p互质，b为a的逆元，那么a^p-1 mod p=1，也就是说，a^p-1 mod p=a*b mod p，即b=a^p-2 mod p，所以逆元为原数的p-2次幂模p。

　　如何求呢？我们考虑到了快速幂，即可log^p求出逆元。

　　以下为代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,p,y,he,ans;
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&p);//读入n、p
    y=p-2;//乘p-2次
    he=1;
    ans=n;
    while(y)
    {
        if (y&1) he=(he*ans)%p;
        ans=(ans*ans)%p;
        y/=2;//快速幂
    }
    printf("%lld",ans*he%p);//输出
    return 0;
}

　　2.2、扩展欧几里得算法求逆元

　　我们用扩展欧几里得算法可以求ax+by=1的值一组解，再通过将a作为所求数，b为模数，明显的，求出的x即为a模p的逆元。

　　代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a,p,x,y;
void gcd(int a,int b,int &x,int &y)//扩展欧几里得算法
{
    if (b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return;
    }
    gcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-(a/b)*y;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&a,&p);
    gcd(a,p,x,y);
    printf("%d",(x+p)%p);//注意x可能为负数
    return 0;
}

　　3、线性求1~n逆元