使用天平3次，从12个乒乓球找唯一1个轻重未知的废品

     前些天在知乎看到一个问如何鉴定程序员水平的问题，其中一个答主建议用智力题考验程序员解决问题的能力（我们在此不讨论答主的观点），然后就留了这么一个问题供大家思考。当时思考了一阵，没头绪（我真不是答主认为的优秀程序员╯□╰）就此放下了。恰好今天在看《控制论与科学方法论》这本书时，看到这本书对此题目的解答，但文中只给了第一步的推导，然后就同理了……然后我就纠结了N久，才把这个同理给想明白。下面把书中的解法和自己想明白的分享给大家。

     书中是使用控制能力来分析的（控制能力 = 原可能性空间大小 / 施加控制后可能性空间大小）。每个球都可能是废品中或轻或重两种状态，因此总的可能性空间大小是12×2=24个状态。目标是唯一的一个状态，因此要求控制能力为24/1=24。天平每次称量可确定左边重，右边重，两边同重3个状态中的一个，可能性空间缩小为原来1/3，因此天平控制能力为3，3次称量，总控制能力为3×3×3=27 > 24。所以此问题有解。

设第一次称x个球，留y个球。若天平平衡，则废品在y个球中，则有

2y/9 ≤1   (1)

如果天平不平衡，则废品在x个球中。已知x/2个不会是轻的，x/2个不会是重的，所有的可能性空间为x，则有：

x/9≤1   (2)

x+y=12   (3)

由此解的x=8,y=4。书中说用同样的方法就可以获得第二次第三次的具体解法了。这个“同样的方法”让我好生纠结，因为第二次情况更复杂了，具体该怎么求解呢？

      第一次称量两边平衡的情况很好想通，我们来考虑两边不平衡的情况。天平上比较轻的那一侧我们记为a，另一侧记为b。现在可以假设从a中拿a­­₁个放入天平左边，a­­₂个放入天平右边，留下a₃个；从b中拿b­­₁个放入天平左边，b₂个放入天平右边，留下b₃个。则有：

a₁+a₂+a₃=4   (4)

b₁+b₂+b₃=4   (5)

a₁+b₁=a₂+b₂   (6)

若天平平衡，则有：

(a₃+b₃)/3≤1   (7)

若天平不平衡且左边轻，则那a₁和b₁个球不可能是重的，又在第一步的称量中可知那b₁个球不可能是轻的，所以可以判定那b₁个球是正常的；而且a₂和b₂个球不可能是轻的，又在第一步的称量中可知那a₂个球不可能是重的，所以可以判定那a₂个球是正常的。此时剩下a₁和b₂个球待定。因此有：

(a₁+b₂)/3≤1   (8)

若天平不平衡且左边重，则同理有：

(a₂+b₁)/3≤1   (9)

根据(4)-(9)可以求得两组解a₁=a₂=1,a₃=2；b₁=b₂=2,a₃=1；与a₁=a₂=2,a₃=1；b₁=b₂=1,a₃=2。

      第三步就可以按同样的方法推得了。

      控制能力解决问题的视角真独特，自叹还是读书少啊。

注：本文中给出的解后来发现并不全面，只是多个解中的一个。请参考评论18楼与21楼书中解答截图。