loj#575. 「LibreOJ NOI Round #2」不等关系
首先考虑如果点(i)和(i+1)中连接的是(>),那么可以考虑从(i)往(i+1)连一条边，否则从(i+1)向(i)连边，如果我们先不考虑(<)，那么就变成了一条条从大往小链接的链，这种图赋权值的方案数就是
[frac{n!}{prod siz_i}
]
那考虑有反向边，可以考虑容斥：原方案数-一条反向边方案数+两条反向边方案数......
设(f_i)表示考虑前(i)个点，先不考虑阶乘的方案数。
那么注意到如果(i)在不考虑反向边的时候不是链首（链的最后一个），很显然没有意义，因此我们考虑只对于链首计算。
考虑从(i)往前的一条弱联通意义下的链，如果我们加入了(k)条反向边，那么根据容斥，我们最终的方案数就是原本这条弱联通链的方案数乘上((-1)^k)。
那么就很好转移了，直接枚举上一条链的链首(j)。设前(i)条边中共有(cnt_i)条正向边。那么有
[f(i)=sum_{j=0}^{i-1}{f(j) imes (-1)^{cnt[i-1]-cnt[j]} imesfrac{1}{(i-j)!}}
]
((-1)^{cnt[i-1]})是个常数，因此可以提出来，那么变成了
[f(i)=(-1)^{cnt[i-1]}sum_{j=0}^{i-1}{f(j) imes (-1)^{-cnt[j]} imesfrac{1}{(i-j)!}}
]
考虑设(F(x)=f(x)*(-1)^{-cnt[x]},G[x]=frac{1}{x!})，那么原式即为
[F(i)=(-1)^{cnt[i-1]+cnt[i]} imessum_{j}^{i-1}F(j) imes G(i-j)
]
这是个卷积形式，分治(NTT)即可。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
#define N 500005
#define MAXN 500000
#define mod 998244353
#define gi 332748118
#define g 3
#define pb push_back
#define int long long
using namespace std;
int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);ch=getchar();}
return x*f;
}
int n,cnt[N],fac[N],ifac[N],inv[N],pw[N],rev[N];
char s[N];
vector<int>F,G,S,T;
int ksm(int a,int b)
{
int res=1;
while(b)
{
if(b&1)res*=a,res%=mod;
a*=a;a%=mod;b>>=1;
}
return res;
}
int get_limit(int x)
{
int limit=1;while(limit<=x)limit<<=1;
for(int i=0;i<limit;i++)rev[i]=((rev[i>>1]>>1)|((i&1)?limit>>1:0));
return limit;
}
void NTT(vector<int>&a,int limit,int type)
{
for(int i=0;i<limit;i++)if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
for(int mid=1;mid<limit;mid<<=1)
{
int Wn=ksm(type==1?g:gi,(mod-1)/(mid<<1));
for(int j=0;j<limit;j+=(mid<<1))
{
int w=1;
for(int k=0;k<mid;k++,w=(w*Wn%mod)%mod)
{
int x=a[j+k],y=w*a[j+k+mid]%mod;
a[j+k]=(x+y)%mod;
a[j+k+mid]=(x-y+mod)%mod;
}
}
}
if(type==-1)
{
int INV=ksm(limit,mod-2);
for(int i=0;i<limit;i++)a[i]=a[i]*INV%mod;
}
}
vector<int> operator*(vector<int>&a,vector<int>&b)
{
int len=a.size()+b.size()-1;
int limit=get_limit(len);
a.resize(limit);b.resize(limit);
NTT(a,limit,1);NTT(b,limit,1);
for(int i=0;i<limit;i++)a[i]=a[i]*b[i]%mod;
NTT(a,limit,-1);a.resize(len);
return a;
}
void solve(int l,int r)
{
if(l==r)return;
//cout<<l<<" "<<r<<endl;
//for(int i=0;i<F.size();i++)printf("%d ",F[i]);
//puts("");
//for(int i=0;i<F.size();i++)printf("%d ",G[i]);
//puts("");
int mid=(l+r)>>1;
solve(l,mid);
S.clear();T.clear();
for(int i=l;i<=mid;i++)
{
if(s[i]=='>')S.pb(F[i]);
else S.pb(0);
T.pb(G[i-l]);
}
for(int i=mid+1;i<=r;i++)S.pb(0),T.pb(G[i-l]);
S=S*T;
for(int i=mid+1;i<=r;i++)F[i]=(F[i]+S[i-l]*pw[cnt[i-1]]%mod*pw[cnt[i]]%mod)%mod;
solve(mid+1,r);
}
signed main()
{
scanf("%s",(s+1));s[0]='>';cnt[0]=1;n=strlen(s+1);
fac[0]=fac[1]=ifac[1]=ifac[0]=inv[1]=1;pw[0]=1;pw[1]=(-1+mod)%mod;
for(int i=2;i<=MAXN;i++)
{
pw[i]=(-pw[i-1]+mod)%mod;
inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
ifac[i]=ifac[i-1]*inv[i]%mod;
}
for(int i=1;i<=n+1;i++)cnt[i]=cnt[i-1]+(s[i]=='>');
F.pb(-1);
for(int i=1;i<=n+1;i++)F.pb(0);
for(int i=0;i<=n+1;i++)G.pb(ifac[i]);
//return 0;
solve(0,n+1);
//for(int i=0;i<=n+1;i++)printf("%d ",pw[i]);
//puts("");
printf("%d
",fac[n+1]*pw[cnt[n+1]]%mod*F[n+1]%mod);
}