平衡二叉树

参考: http://www.cppblog.com/cxiaojia/archive/2012/08/20/187776.html

一 定义

　　平衡二叉树（Balanced Binary Tree）是二叉查找树的一个进化体，也是第一个引入平衡概念的二叉树。1962年，G.M. Adelson-Velsky 和 E.M. Landis发明了这棵树，所以它又叫AVL树。平衡二叉树要求对于每一个节点来说，它的左右子树的高度之差不能超过1，如果插入或者删除一个节点使得高度之差大于1，就要进行节点之间的旋转，将二叉树重新维持在一个平衡状态。这个方案很好的解决了二叉查找树退化成链表的问题，把插入，查找，删除的时间复杂度最好情况和最坏情况都维持在O(logN)。但是频繁旋转会使插入和删除牺牲掉O(logN)左右的时间，不过相对二叉查找树来说，时间上稳定了很多。

　　平衡二叉树实现的大部分过程和二叉查找树是一样的（学平衡二叉树之前一定要会二叉查找树），区别就在于插入和删除之后要写一个旋转算法去维持平衡.

二 难点操作

1 旋转

　　对于一棵AVL树，由于一次插入删除操作造成该树高度不平衡时，根节点的两棵子树的高度只能差2. 而不平衡的情况只能是以下四种：

　　1、6节点的左子树3节点高度比右子树7节点大2，左子树3节点的左子树1节点高度大于右子树4节点，这种情况成为左左。

　　2、6节点的左子树2节点高度比右子树7节点大2，左子树2节点的左子树1节点高度小于右子树4节点，这种情况成为左右。

　　3、2节点的左子树1节点高度比右子树5节点小2，右子树5节点的左子树3节点高度大于右子树6节点，这种情况成为右左。

　　4、2节点的左子树1节点高度比右子树4节点小2，右子树4节点的左子树3节点高度小于右子树6节点，这种情况成为右右。

　　从图2中可以可以看出，1和4两种情况是对称的，这两种情况的旋转算法是一致的，只需要经过一次旋转就可以达到目标，我们称之为单旋转。2和3两种情况也是对称的，这两种情况的旋转算法也是一致的，需要进行两次旋转，我们称之为双旋转。

(1) 单旋转

　　单旋转是针对于左左和右右这两种情况的解决方案，这两种情况是对称的，只要解决了左左这种情况，右右就很好办了。图3是左左情况的解决方案，节点k2不满足平衡特性，因为它的左子树k1比右子树Z深2层，而且k1子树中，更深的一层的是k1的左子树X子树，所以属于左左情况。

　　为使树恢复平衡，我们把k2变成这棵树的根节点，因为k2大于k1，把k2置于k1的右子树上，而原本在k1右子树的Y大于k1，小于k2，就把Y置于k2的左子树上，这样既满足了二叉查找树的性质，又满足了平衡二叉树的性质。

　　这样的操作只需要一部分指针改变，结果我们得到另外一颗二叉查找树，它是一棵AVL树，因为X向上一移动了一层，Y还停留在原来的层面上，Z向下移动了一层。使得根节点两棵子树的高度差小于2

(2) 双旋转

　　对于左右和右左这两种情况，单旋转不能使它达到一个平衡状态，要经过两次旋转。双旋转是针对于这两种情况的解决方案，同样的，这样两种情况也是对称的，只要解决了左右这种情况，右左就很好办了。图4是左右情况的解决方案，节点k3不满足平衡特性，因为它的左子树k1比右子树Z深2层，而且k1子树中，更深的一层的是k1的右子树k2子树，所以属于左右情况。

 　　为使树恢复平衡，我们需要进行两步，第一步，把k1作为根，进行一次右右情况下的旋转操作，旋转之后就变成了左左情况，所以第二步再进行一次左左情况下的旋转操作，最后得到了一棵以k2为根的平衡二叉树。

2 插入

　　插入的方法和二叉查找树基本一样，区别是，插入完成后需要从插入的节点开始维护一个到根节点的路径，每经过一个节点都要维持树的平衡。维持树的平衡要根据高度差的特点选择不同的旋转算法。

3 删除

　　删除的方法也和二叉查找树的一致，区别是，删除完成后，需要从删除节点的父亲开始向上维护树的平衡一直到根节点。

下面是完整的代码展示

#include<iostream>
//AVL树节点信息
template<typename T>
class TreeNode
{
public:
    TreeNode() :
        lson_(NULL), rson_(NULL)
    {

    }
    T data_;//值
    TreeNode* lson_;//指向左儿子的地址
    TreeNode* rson_;//指向右儿子的地址
};
//AVL树类的属性和方法声明
template<typename T>
class AVLTree
{
public:
    AVLTree(); 
    ~AVLTree();
    void insert(T x);//插入接口
    TreeNode<T>* find(T x);//查找接口
    void Delete(T x);//删除接口
    void traversal();//遍历接口

private:
    void insertpri(TreeNode<T>* &node, T x);//插入
    void Deletepri(TreeNode<T>* &node, T x);//删除

    TreeNode<T>* findpri(TreeNode<T>* node, T x);//查找
    void insubtree(TreeNode<T>* node);//中序遍历

    int height(TreeNode<T>* node);//求树的高度

    void SingRotateLeft(TreeNode<T>* &k2);//左左情况下的旋转
    void SingRotateRight(TreeNode<T>* &k2);//右右情况下的旋转
    void DoubleRotateLR(TreeNode<T>* &k3);//左右情况下的旋转
    void DoubleRotateRL(TreeNode<T>* &k3);//右左情况下的旋转

    void Delete(TreeNode<T>* &root);
private:
    TreeNode<T>* root_;//根节点
};
template<typename T>
AVLTree<T>::AVLTree()
    : root_(NULL)
{
}
template<typename T>
AVLTree<T>::~AVLTree()
{
    Delete(root_);
}
//计算节点的高度
template<typename T>
int AVLTree<T>::height(TreeNode<T>* node)
{
    if (node != NULL)
    {
        int lh = height(node->lson_);
        int rh = height(node->rson_);
        return lh >= rh ? (lh + 1) : (rh + 1);
    }
    return -1;
}
template<typename T>
void AVLTree<T>::Delete(TreeNode<T>* &root)
{
    if (root->lson_)
    {
        Delete(root->lson_);
        root->lson_ =nullptr;
    }
    if (root->rson_)
    {
        Delete(root->rson_);
        root->rson_ = nullptr;
    }
       
 82     
 83     delete root;
    root = nullptr;
 85            
 86 }
//左左情况下的旋转
template<typename T>
void AVLTree<T>::SingRotateLeft(TreeNode<T>* &k2)
{
    if (!k2)
        return;

    TreeNode<T> *k1 = k2->lson_;
    if (k1)
    {
        k2->lson_ = k1->rson_;
        k1->rson_ = k2;
        k2 = k1;
    }

}
//右右情况下的旋转
template<typename T>
void AVLTree<T>::SingRotateRight(TreeNode<T>* &k2)
{
    if (!k2)
        return;

    TreeNode<T> *k1 = k2->rson_;
    if (k1)
    {
        k2->rson_ = k1->lson_;
        k1->lson_ = k2;
        k2 = k1;
    }
}
//左右情况的旋转
template<typename T>
void AVLTree<T>::DoubleRotateLR(TreeNode<T>* &k3)
{
    if (!k3)
        return;

    SingRotateRight(k3->lson_);
    SingRotateLeft(k3);
}
//右左情况的旋转
template<typename T>
void AVLTree<T>::DoubleRotateRL(TreeNode<T>* &k3)
{
    if (!k3)
        return;

    SingRotateLeft(k3->rson_);
    SingRotateRight(k3);
}
//插入
template<typename T>
void AVLTree<T>::insertpri(TreeNode<T>* &node, T x)
{
    if (node == NULL)//如果节点为空,就在此节点处加入x信息
    {
        node = new TreeNode<T>();
        node->data_ = x;
    }
    else if (node->data_ >= x)//如果x小于节点的值,就继续在节点的左子树中插入x
    {
        insertpri(node->lson_, x);
        if (2 == height(node->lson_) - height(node->rson_))
        {
            if (x < node->lson_->data_)
                SingRotateLeft(node);
            else
                DoubleRotateLR(node);
        }
    }
    else//如果x大于节点的值,就继续在节点的右子树中插入x
    {
        insertpri(node->rson_, x);
        if (2 == height(node->rson_) - height(node->lson_))//如果高度之差为2的话就失去了平衡,需要旋转
        {
            if (x > node->rson_->data_)
                SingRotateRight(node);
            else
                DoubleRotateRL(node);
        }
    }
}
//插入接口
template<typename T>
void AVLTree<T>::insert(T x)
{
    insertpri(root_, x);
    int lh = height(root_);
}
//查找
template<typename T>
TreeNode<T>* AVLTree<T>::findpri(TreeNode<T>* node, T x)
{
    if (!node)//如果节点为空说明没找到,返回NULL
        return NULL;
    if (node->data_ > x)//如果x小于节点的值,就继续在节点的左子树中查找x
        return findpri(node->lson_, x);
    else if (node->data_ < x)//如果x大于节点的值,就继续在节点的右子树中查找x
        return findpri(node->rson_, x);
    else//如果相等,就找到了此节点
        return node;
}
//查找接口
template<typename T>
TreeNode<T>* AVLTree<T>::find(T x)
{
    return findpri(root_, x);
}
//删除
template<typename T>
void AVLTree<T>::Deletepri(TreeNode<T>* &node, T x)
{
    if (!node)
        return;//没有找到值是x的节点

    if (x < node->data_)
    {
        Deletepri(node->lson_, x);//如果x小于节点的值,就继续在节点的左子树中删除x
        if (height(node->rson_) - height(node->lson_) == 2)
        {
            if (height(node->rson_->lson_)>height(node->rson_->rson_))
                DoubleRotateRL(node);
            else
                SingRotateRight(node);
        }
    }
    else if (x > node->data_)
    {
        Deletepri(node->rson_, x);//如果x大于节点的值,就继续在节点的右子树中删除x
        if (height(node->lson_) - height(node->rson_) == 2)
        {
            if (height(node->lson_->rson_) > height(node->lson_->lson_))
                DoubleRotateLR(node);
            else
                SingRotateLeft(node);
        }
    }
    else//如果相等,此节点就是要删除的节点
    {
        if (node->lson_&&node->rson_)//此节点有两个儿子
        {
            TreeNode<T>* temp_fathor = node;
            TreeNode<T>* temp = node->rson_;//temp指向节点的右儿子
            while (temp->lson_)//找到右子树中值最小的节点
            {
                temp_fathor = temp;
                temp = temp->lson_;
            }

            //把右子树中最小节点的值赋值给本节点
            node->data_ = temp->data_;
            delete temp_fathor->lson_;
            temp_fathor->lson_ = nullptr;

            if (2 == height(node->lson_) - height(node->rson_))
            {
                if (height(node->lson_->rson_) > height(node->lson_->lson_))
                    DoubleRotateLR(node);
                else
                    SingRotateLeft(node);
            }
        }
        else//此节点有1个或0个儿子
        {
            TreeNode<T>* temp = node;
            if (node->lson_ == NULL)//有右儿子或者没有儿子
                node = node->rson_;
            else if (node->rson_ == NULL)//有左儿子
                node = node->lson_;
            delete(temp);
            temp = NULL;
        }
    }
}
//删除接口
template<typename T>
void AVLTree<T>::Delete(T x)
{
    Deletepri(root_, x);
}
//中序遍历函数
template<typename T>
void AVLTree<T>::insubtree(TreeNode<T>* node)
{
    if (node == NULL) 
        return;
    insubtree(node->lson_);//先遍历左子树
    std::cout << node->data_ << " ";//输出根节点
    insubtree(node->rson_);//再遍历右子树
}
//中序遍历接口
template<typename T>
void AVLTree<T>::traversal()
{
    insubtree(root_);
}