13-1：(48)旋转图像

48. 旋转图像

给定一个 n × n 的二维矩阵表示一个图像。

将图像顺时针旋转 90 度。

说明：

你必须在原地旋转图像，这意味着你需要直接修改输入的二维矩阵。请不要使用另一个矩阵来旋转图像。

示例 1:

给定 matrix =
[
[1,2,3],
[4,5,6],
[7,8,9]
],

原地旋转输入矩阵，使其变为:
[
[7,4,1],
[8,5,2],
[9,6,3]
]
示例 2:

给定 matrix =
[
[ 5, 1, 9,11],
[ 2, 4, 8,10],
[13, 3, 6, 7],
[15,14,12,16]
],

原地旋转输入矩阵，使其变为:
[
[15,13, 2, 5],
[14, 3, 4, 1],
[12, 6, 8, 9],
[16, 7,10,11]
]

以下solution均参考：https://leetcode.com/problems/rotate-image/discuss/18884/Seven-Short-Solutions-(1-to-7-lines)

Python solution 1:

class Solution(object):
    def rotate(self, matrix):
        """
        :type matrix: List[List[int]]
        :rtype: None Do not return anything, modify matrix in-place instead.
        """
        matrix[:] = zip(*matrix[::-1])

分析：

这种方法用到了数学变换：给定一个二维矩阵，将其顺时针旋转可以分成两步来做：

首先将矩阵上下翻转；

然后将翻转后的矩阵做转置。

如下所示：

[egin{bmatrix} 5 & 1 & 9 & 11 \ 2 & 4 & 8 & 10 \ hline 13 & 3 & 6 & 7 \ 15 & 14 & 12 & 16 end{bmatrix} Rightarrow egin{bmatrix} 15 & 14 & 12 & 16 \ 13 & 3 & 6 & 7\ 2 & 4 & 8 & 10 \ 5 & 1 & 9 & 11 end{bmatrix} Rightarrow egin{bmatrix} 15 & 13 & 2 & 5 \ 14 & 3 & 4 & 1 \ 12 & 6 & 8 & 9 \ 16 & 7 & 10 & 11 end{bmatrix} ]

这里涉及到两个问题：

（1）如何将矩阵上下翻转？

答案是matrix[::-1]，关于[::-1]，可以参考：https://www.cnblogs.com/mxh1099/p/5804064.html

（2）如何对矩阵做转置？

这一点可以用zip(*)实现，关于zip函数的用法，可以参考：

https://www.cnblogs.com/liulangmao/p/9119703.html

https://blog.csdn.net/u010457943/article/details/77369806

Python solution 2:

class Solution(object):
    def rotate(self, matrix):
        """
        :type matrix: List[List[int]]
        :rtype: None Do not return anything, modify matrix in-place instead.
        """
        matrix.reverse()
        for i in range(len(matrix)):
            for j in range(i):
                matrix[i][j], matrix[j][i] = matrix[j][i], matrix[i][j]

分析：

这是一种100% “in-place”的方法，用reverse替换掉了[::-1]，用 for 循环替换掉了 zip方法，和第一种方法的思路是完全一样的。

Python solution 3:

class Solution(object):
    def rotate(self, matrix):
        """
        :type matrix: List[List[int]]
        :rtype: None Do not return anything, modify matrix in-place instead.
        """
        n = len(matrix)
        for i in range(n/2):
            for j in range(n-n/2):
                matrix[i][j], matrix[~j][i], matrix[~i][~j], matrix[j][~i] = 
                         matrix[~j][i], matrix[~i][~j], matrix[j][~i], matrix[i][j]

分析：

如果说前面那种方法是一种取巧的方法（因为顺时针旋转的结果恰好和先上下翻转再转置的结果一样），那么这种方法就是一种普适的方法（就算题目稍微变一变，也可以在这种方法的基础上变化得到解决方法）。

这种方法的思路是将原始矩阵等分成4个板块，如下所示：

[egin{array}{cc|cc} 5 & 1 & 9 & 11 \ 2 & 4 & 8 & 10 \ hline 13 & 3 & 6 & 7 \ 15 & 14 & 12 & 16 end{array} ag{2} ]

因为矩阵的旋转无非就是一个板块中的元素跑到相邻的下一个板块中去，因此我们直接对板块中的元素进行移动。

即代码中的

matrix[i][j], matrix[~j][i], matrix[~i][~j], matrix[j][~i] = 
                         matrix[~j][i], matrix[~i][~j], matrix[j][~i], matrix[i][j]

其中，~i等价于-(i+1)。代码中i,j只能取到矩阵的左上角 (frac{1}{4}) 的部分（但这已经足够了），然后每次同时交换这4个板块中的一个元素（参与交换的这4个元素按顺时针的方向构成了一个闭环），它们交换的方向是顺时针方向。