题目链接
题意分析
我们考虑一下 对于一个最简分数\(\frac{x}{y}\) 在\(k\)进制下可以表示为纯循环小数
设其循环节长度为\(l\) 同时令\([x]\)表示x的小数部分
那么
\[[\frac{x}{y}]=[\frac{xk^l}{y}]
\]
也就是
\[\frac{x}{y}-\lfloor\frac{x}{y}\rfloor=\frac{xk^l}{y}-\lfloor\frac{xk^l}{y}\rfloor
\]
\[x-\lfloor\frac{x}{y}\rfloor y=xk^l-\lfloor\frac{xk^l}{y}\rfloor y
\]
也就是
\[x≡xk^l(mod\ \ y)
\]
由于
\(ax≡bx(mod\ c)\)且\(x⊥c\) 则\(a≡b(mod\ c)\)
\(x\),\(y\)是最简分数 所以\(x⊥y\)
所以
\[k^l≡1(mod\ \ y)
\]
现在 我们可以得到\(k^l⊥y\) 要证明\(k⊥y\)
反证法:如果\(k⊥y\)不成立的话 那么\(k,y\)必然存在公共的质因子 那么\(k^l⊥y\)也必然存在公共的质因子 这与\(k^l⊥y\)矛盾
所以\(k⊥y\)
可得$$k≡1(mod\ \ y)$$
所以\(x,y\)以及\(y,k\)均互质
\[f(n,m,k)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[gcd(i,j)=1][gcd(j,k)=1]\\=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[gcd(i,j)=1]\sum_{d|i,d|k}μ(d)\\=\sum_{d|k}μ(d)\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[d|j][gcd(i,j)=1]\\=\sum_{d|k}μ(d)\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}[gcd(i,jd)=1]\\=\sum_{d|k}μ(d)\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}[gcd(i,j)=1][gcd(i,d)=1]\\=\sum_{d|k}μ(d)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^n[gcd(i,j)=1][gcd(j,d)=1]\\=\sum_{d|k}μ(d)f(\lfloor\frac{m}{d}\rfloor,n,d)
\]
从而因此不断递归下去
\(n=0\)或者\(m=0\)时
\[f(n,m,k)=0
\]
\(k=1\)时
\[f(n,m,k)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[gcd(i,j)=1]=\sum_{d=1}^{min(n,m)}μ(d)\lfloor\frac{n}{d}\rfloor\lfloor\frac{m}{d}\rfloor
\]
上式使用杜教筛计算
同时为了节省时间 我们还需要记忆化
CODE:
#include<bits/stdc++.h>
#define M 10000080
#define N 3010
using namespace std;
struct Node
{
int xx,yy,zz;
friend bool operator <(const Node &A,const Node B)
{return A.zz==B.zz ? (A.yy==B.yy ? A.xx<B.xx : A.yy<B.yy) : A.zz<B.zz;}
};
int n,m,k,tot,cnt;
bool mark[M];
int prime[M],mul[M],sum[M];
vector<int> dell[N];
map<int,int> MUL;//用于记忆化答案
map<Node,long long> vis;
void pre()
{
mul[1]=1;
for(int i=2;i<=10000000;++i)
{
if(!mark[i]) {prime[++tot]=i;mul[i]=-1;}
for(int j=1;j<=tot&&prime[j]*i<=10000000;++j)
{
mark[prime[j]*i]=1;
if(i%prime[j]==0)
{
mul[prime[j]*i]=0;
break;
}
else mul[prime[j]*i]=-mul[i];
}
}
for(int i=1;i<=10000000;++i) sum[i]=sum[i-1]+mul[i];
for(int i=1;i<=2000;++i)
for(int j=i;j<=2000;j+=i)
dell[j].push_back(i);
}
int GetMul(int x)
{
if(x<=10000000) return sum[x];
if(MUL.count(x)) return MUL[x];
int tmp=1;
for(int l=2,r=0;l<=x;l=r+1)
{
r=x/(x/l);
tmp-=(r-l+1)*GetMul(x/l);
}
return MUL[x]=tmp;//记忆化
}
long long GetSum(int x,int y)
{
long long tmp=0;
for(int l=1,r=0;l<=min(x,y);l=r+1)
{
r=min(x/(x/l),y/(y/l));
tmp+=(long long)(GetMul(r)-GetMul(l-1))*(long long)(x/l)*(long long)(y/l);
}
return tmp;
}
long long query(int x,int y,int z)
{
if(x==0||y==0) return 0;
if(vis.count((Node){x,y,z})) return vis[(Node){x,y,z}];
if(z==1)
{
long long tmp=GetSum(x,y);
vis[(Node){x,y,z}]=vis[(Node){y,x,z}]=tmp;
return tmp;
}
long long tmp=0;
for(int i=0;i<(int)dell[z].size();++i)
tmp+=(long long)mul[dell[z][i]]*query(y/dell[z][i],x,dell[z][i]);
return vis[(Node){x,y,z}]=tmp;//记忆化
}
int main()
{
scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);pre();
MUL.clear();vis.clear();
printf("%lld\n",query(n,m,k));
return 0;
}