拓端数据tecdat|R语言极值理论EVT：基于GPD模型的火灾损失分布分析

原文链接：http://tecdat.cn/?p=21425 

极值理论关注风险损失分布的尾部特征,通常用来分析概率罕见的事件,它可以依靠少量样本数据,在总体分布未知的情况下,得到总体分布中极值的变化情况,具有超越样本数据的估计能力。因此,基于GPD(generalized pareto distribution)分布的模型可更有效地利用有限的巨灾损失数据信息,从而成为极值理论当前的主流技术。

针对巨灾发生频率低、损失高、数据不足且具有厚尾性等特点,利用GPD模型对火灾经济损失数据进行了统计建模;并对形状参数及尺度参数进行了估计。模型检验表明,GPD模型对巨灾风险厚尾特点具有较好的拟合效果和拟合精度,为巨灾风险估计的建模及巨灾债券的定价提供了理论依据。

火灾损失数据

本文使用的数据是在再保险公司收集的，包括1980年至1990年期间的2167起火灾损失。已对通货膨胀进行了调整。总索赔额已分为建筑物损失、利润损失。

1.  
   base1=read.table( "dataunivar.txt",
2.  
   header=TRUE)
3.  
   base2=read.table( "datamultiva.txt",
4.  
   header=TRUE)

考虑第一个数据集（到目前为止，我们处理的是单变量极值），

1.  
    
2.  
   > D=as.Date(as.character(base1$Date),"%m/%d/%Y")
3.  
   > plot(D,X,type="h")

图表如下：

然后一个自然的想法是可视化

例如

1.  
    
2.  
   > plot(log(Xs),log((n:1)/(n+1)))

线性回归

这里的点在一条直线上。斜率可以通过线性回归得到，

1.  
    
2.  
   lm(formula = Y ~ X, data = B)
3.  
   lm(Y~X,data=B[(n-500):n,])
4.  
   lm(formula = Y ~ X, data = B[(n - 100):n, ])

重尾分布

这里的斜率与分布的尾部指数有关。考虑一些重尾分布

由于自然估计量是阶次统计量，因此直线的斜率与尾部指数相反 . 斜率的估计值为（仅考虑最大的观测值）

 

希尔估算量

希尔估算量基于以下假设：上面的分母几乎为1（即等于）。

那么可以得到收敛性假设。进一步

基于这个（渐近）分布，可以得到一个（渐近）置信区间 

1.  
   > xi=1/(1:n)*cumsum(logXs)-logXs
2.  
   > xise=1.96/sqrt(1:n)*xi
3.  
    
4.  
   > polygon(c(1:n,n:1),c(xi+xise,rev(xi-xise)),

增量方法

与之类似（同样还有关于收敛速度的附加假设） 

（使用增量方法获得）。同样，我们可以使用该结果得出（渐近）置信区间

1.  
    
2.  
   > alphase=1.96/sqrt(1:n)/xi
3.  
   > polygon(c(1:n,n:1),c(alpha+alphase,rev(alpha-alphase)),

Deckers-einmal-de-Haan估计量

然后（再次考虑收敛速度的条件，即），

Pickands估计

 由于 ,

代码

1.  
   > xi=1/log(2)*log( (Xs[seq(1,length=trunc(n/4),by=1)]-
2.  
   + Xs[seq(2,length=trunc(n/4),by=2)])/
3.  
    
4.  
   > xise=1.96/sqrt(seq(1,length=trunc(n/4),by=1))*
5.  
   +sqrt( xi^2*(2^(xi+1)+1)/((2*(2^xi-1)*log(2))^2))
6.  
    
7.  
   > polygon(c(seq(1,length=trunc(n/4),by=1),rev(seq(1,

拟合GPD分布

也可以使用最大似然方法来拟合高阈值上的GPD分布。

1.  
    
2.  
   > gpd
3.  
   $n
4.  
   [1] 2167
5.  
    
6.  
   $threshold
7.  
   [1] 5
8.  
    
9.  
   $p.less.thresh
10.  
    [1] 0.8827873
11.  
     
12.  
    $n.exceed
13.  
    [1] 254
14.  
     
15.  
    $method
16.  
    [1] "ml"
17.  
     
18.  
    $par.ests
19.  
    xi beta
20.  
    0.6320499 3.8074817
21.  
     
22.  
    $par.ses
23.  
    xi beta
24.  
    0.1117143 0.4637270
25.  
     
26.  
    $varcov
27.  
    [,1] [,2]
28.  
    [1,] 0.01248007 -0.03203283
29.  
    [2,] -0.03203283 0.21504269
30.  
     
31.  
    $information
32.  
    [1] "observed"
33.  
     
34.  
    $converged
35.  
    [1] 0
36.  
     
37.  
    $nllh.final
38.  
    [1] 754.1115
39.  
     
40.  
    attr(,"class")
41.  
    [1] "gpd"

或等效地

1.  
   > gpd.fit
2.  
   $threshold
3.  
   [1] 5
4.  
    
5.  
   $nexc
6.  
   [1] 254
7.  
    
8.  
   $conv
9.  
   [1] 0
10.  
     
11.  
    $nllh
12.  
    [1] 754.1115
13.  
     
14.  
    $mle
15.  
    [1] 3.8078632 0.6315749
16.  
     
17.  
    $rate
18.  
    [1] 0.1172127
19.  
     
20.  
    $se
21.  
    [1] 0.4636270 0.1116136

它可以可视化尾部指数的轮廓似然性，

> gpd.prof

或者

> gpd.prof

因此，可以绘制尾指数的最大似然估计量，作为阈值的函数（包括置信区间），

1.  
   Vectorize(function(u){gpd(X,u)$par.ests[1]})
2.  
    
3.  
   plot(u,XI,ylim=c(0,2))
4.  
   segments(u,XI-1.96*XIS,u,XI+

最后，可以使用块极大值技术。

1.  
   gev.fit
2.  
   $conv
3.  
   [1] 0
4.  
    
5.  
   $nllh
6.  
   [1] 3392.418
7.  
    
8.  
   $mle
9.  
   [1] 1.4833484 0.5930190 0.9168128
10.  
     
11.  
    $se
12.  
    [1] 0.01507776 0.01866719 0.03035380

尾部指数的估计值是在这里最后一个系数。

---

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