【KM算法及其具体过程】【转自：http://www.cnblogs.com/jackge/archive/2013/05/03/3057028.html】
（1）可行点标：每个点有一个标号，记lx[i]为X方点i的标号，ly[j]为Y方点j的标号。如果对于图中的任意边(i, j, W)都有lx[i]+ly[j]>=W，则这一组点标是可行的。特别地，对于lx[i]+ly[j]=W的边(i, j, W)，称为可行边；
（2）KM 算法的核心思想就是通过修改某些点的标号（但要满足点标始终是可行的），不断增加图中的可行边总数，直到图中存在仅由可行边组成的完全匹配为止，此时这个 匹配一定是最佳的（因为由可行点标的的定义，图中的任意一个完全匹配，其边权总和均不大于所有点的标号之和，而仅由可行边组成的完全匹配的边权总和等于所 有点的标号之和，故这个匹配是最佳的）。一开始，求出每个点的初始标号：lx[i]=max{e.W|e.x=i}（即每个X方点的初始标号为与这个X方 点相关联的权值最大的边的权值），ly[j]=0（即每个Y方点的初始标号为0）。这个初始点标显然是可行的，并且，与任意一个X方点关联的边中至少有一条可行边；
（3）然后，从每个X方点开始DFS增广。DFS增广的过程与最大匹配的Hungary算法基本相同，只是要注意两点：一是只找可行边，二是要把搜索过程中遍历到的X方点全部记下来（可以用vst搞一下），以进行后面的修改；
（4） 增广的结果有两种：若成功（找到了增广轨），则该点增广完成，进入下一个点的增广。若失败（没有找到增广轨），则需要改变一些点的标号，使得图中可行边的 数量增加。方法为：将所有在增广轨中（就是在增广过程中遍历到）的X方点的标号全部减去一个常数d，所有在增广轨中的Y方点的标号全部加上一个常数d，则 对于图中的任意一条边(i, j, W)（i为X方点，j为Y方点）：
<1>i和j都在增广轨中：此时边(i, j)的(lx[i]+ly[j])值不变，也就是这条边的可行性不变（原来是可行边则现在仍是，原来不是则现在仍不是）；
<2>i在增广轨中而j不在：此时边(i, j)的(lx[i]+ly[j])的值减少了d，也就是原来这条边不是可行边（否则j就会被遍历到了），而现在可能是；
<3>j在增广轨中而i不在：此时边(i, j)的(lx[i]+ly[j])的值增加了d，也就是原来这条边不是可行边（若这条边是可行边，则在遍历到j时会紧接着执行DFS(i)，此时i就会被遍历到），现在仍不是；
<4>i和j都不在增广轨中：此时边(i, j)的(lx[i]+ly[j])值不变，也就是这条边的可行性不变。
这 样，在进行了这一步修改操作后，图中原来的可行边仍可行，而原来不可行的边现在则可能变为可行边。那么d的值应取多少？显然，整个点标不能失去可行性，也 就是对于上述的第<2>类边，其lx[i]+ly[j]>=W这一性质不能被改变，故取所有第<2>类边的 (lx[i]+ly[j]-W)的最小值作为d值即可。这样一方面可以保证点标的可行性，另一方面，经过这一步后，图中至少会增加一条可行边。
（5）修改后，继续对这个X方点DFS增广，若还失败则继续修改，直到成功为止；
（6）以上就是KM算法的基本思路。但是朴素的实现方法，时间复杂度为O(n4)——需要找O(n)次增广路，每次增广最多需要修改O(n)次顶标，每次修改顶 标时由于要枚举边来求d值，复杂度为O(n2)。实际上KM算法的复杂度是可以做到O(n3)的。我们给每个Y顶点一个“松弛量”函数slack，每次开 始找增广路时初始化为无穷大。在寻找增广路的过程中，检查边(i,j)时，如果它不在相等子图中，则让slack[j]变成原值与 A[i]+B[j]-w[i,j]的较小值。这样，在修改顶标时，取所有不在交错树中的Y顶点的slack值中的最小值作为d值即可。但还要注意一点：修 改顶标后，要把所有不在交错树中的Y顶点的slack值都减去d
D.
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<climits> #include<algorithm> using namespace std; #define N 310 int map[N][N]; bool visitx[N], visity[N]; int lx[N], ly[N]; int match[N]; int n; bool Hungary(int u) //匈牙利算法 { visitx[u] = true; for(int i = 0; i < n; ++i) { if(!visity[i] && lx[u] + ly[i] == map[u][i]) { visity[i] = true; if(match[i] == -1 || Hungary(match[i])) { match[i] = u; return true; } } } return false; } void KM_perfect_match() { int temp; memset(lx, 0, sizeof(lx)); //初始化顶标 memset(ly, 0, sizeof(ly)); //ly[i]为0 for(int i = 0; i < n; ++i) //lx[i]为权值最大的边 for(int j = 0; j < n; ++j) lx[i] = max(lx[i], map[i][j]); for(int i = 0; i < n; ++i) //对n个点匹配 { while(1) { memset(visitx, false, sizeof(visitx)); memset(visity, false, sizeof(visity)); if(Hungary(i)) //匹配成功 break; else //匹配失败，找最小值 { temp = INT_MAX; for(int j = 0; j < n; ++j) //x在交错树中 if(visitx[j]) for(int k = 0; k < n; ++k) //y在交错树外 if(!visity[k] && temp > lx[j] + ly[k] - map[j][k]) temp = lx[j] + ly[k] - map[j][k]; for(int j = 0; j < n; ++j) //更新顶标 { if(visitx[j]) lx[j] -= temp; if(visity[j]) ly[j] += temp; } } } } } int main() { int ans; while(scanf("%d", &n) != EOF) { ans = 0; memset(match, -1, sizeof(match)); for(int i = 0; i < n; ++i) for(int j = 0; j < n; ++j) scanf("%d", &map[i][j]); KM_perfect_match(); for(int i = 0; i < n; ++i) //权值相加 ans += map[match[i]][i]; printf("%d ", ans); } return 0; }
//memory：604KB time：453ms
另外一优化代码：
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <cstring> 4 using namespace std; 5 6 const int N =310; 7 const int inf =0x1fffffff; 8 9 int n, lx[N], ly[N], match[N], w[N][N]; 10 bool visx[N], visy[N]; 11 int lack; 12 13 int getNum() 14 { 15 char c; 16 int ans =0; 17 c = getchar(); 18 while(c<'0'|| c>'9') c = getchar(); 19 while(c>='0'&& c<='9') 20 { 21 ans = ans*10+c-'0'; 22 c = getchar(); 23 } 24 return ans; 25 } 26 27 bool find(int u) 28 { 29 int i, t; 30 visx[u] =true; 31 for(i =1; i <= n; i++) 32 if(!visy[i]) 33 { 34 t = lx[u] + ly[i] - w[u][i]; 35 if(t ==0) 36 { 37 visy[i] =true; 38 if(match[i]==-1|| find(match[i])) 39 { 40 match[i] = u; 41 return true; 42 } 43 } 44 else if(t >0) 45 lack = min(lack, t); 46 } 47 return false; 48 } 49 50 int main() 51 { 52 int i, j, ans; 53 while(scanf("%d", &n) != EOF) 54 { 55 for(i =1; i <= n; i++) 56 { 57 lx[i] = ly[i] =0; 58 for(j =1; j <= n; j++) 59 { 60 w[i][j] = getNum(); 61 lx[i] = max(lx[i], w[i][j]); 62 } 63 } 64 memset(match, -1, sizeof(match)); 65 for(i =1; i <= n; i++) 66 { 67 memset(visx, false, sizeof(visx)); 68 memset(visy, false, sizeof(visy)); 69 lack = inf; 70 while(!find(i)) 71 { 72 for(j =1; j <= n; j++) 73 { 74 if(visx[j]) lx[j] -= lack; 75 if(visy[j]) ly[j] += lack; 76 } 77 memset(visx, false, sizeof(visx)); 78 memset(visy, false, sizeof(visy)); 79 } 80 } 81 ans =0; 82 for(i =1; i <= n; i++) ans = ans + lx[i] + ly[i]; 83 printf("%d ", ans); 84 } 85 return 0; 86 }
//memory：604KB time：265ms