狄利克雷卷积&莫比乌斯反演证明

狄利克雷卷积简介

卷积这名字听起来挺学究的，今天学了之后发现其实挺朴实hhh。

卷积：

“（n）”表示到n的一个范围。
设(f,g)是两个数论函数（也就是说，以自然数集为定义域的复数值函数），则卷积运算(fast g)定义为

[(fast g)(n) = sum_{ij=n}{f(i)g(j)} ]

另一种写法就是：

[(fast g)(n) = sum_{dmid n}{f(d)g(frac{n}{d})} ]

这里给一段数论函数的定义：

数论函数亦称算术函数，一类重要的函数，指定义在正整数集上的实值或复值函数，更一般地，也可把数论函数看做是某一整数集上定义的函数。

一些数论函数

首先最简单的就是常数函数，直接映射到一个正整数，比如(f(x)=1,f(x)=2)这样的。
再有就是一些整数域数列的通项公式函数，例如(f(x)=x)这样的。
还有就是(phi(x))欧拉函数，表示因数个数。
另外就是元函数e，写成表达式就是(e(x)=[x=1]).
还有特殊的常数函数,把所有的数字映射成1的(u(x)=1)
莫比乌斯函数：通常，莫比乌斯函数(mu)定义为
(mu(1)=1；)
(mu(n)=(-1)^k)如果n能写成k个不同素数之积；
(mu(n)=0)，其他情况。

以下参考如何证明莫比乌斯反演？by Syu Gau

一些简单性质

交换律

根据$$(fast g)(n) = sum_{ij=n}{f(i)g(j)}$$
这个定义，结论是显然的了。

结合律

只要证明((f*g)*h=f*(g*h))就可以了。
于是左边就是

[egin{align} ((fast g)ast h)(n) &= sum_{lk=n}(fast g)(l)h(k) \ &= sum_{lk=n}left(sum_{ij=l}f(i)g(j) ight)h(k)\ &= sum_{ijk=n} f(i)g(j)h(k) end{align} ]

右边是

[egin{align} (fast (gast h))(n) &= sum_{il=n}f(i)(gast h)(l) \ &= sum_{il=n}f(i)left(sum_{jk=l}g(j)h(k) ight)\ &= sum_{ijk=n} f(i)g(j)h(k) end{align} ]

得证。

加法的结合律

看不懂网上的证明，简单贴一下。

存在单位元(iota) 使得(iotaast f=f)
我们需要

[(iotaast f)(n)=sum_{ij=n}iota(i)f(j)=f(n) ]

故不难猜到(iota) 应该定义为(iota(n)=) egin{cases} 1&n=1 0&n eq1 end{cases}
事实上，直接验证可得

[(iotaast f)(n)=sum_{ij=n}delta_{i,1}f(j)=f(n) ]

以上说明数论函数在卷积意义下构成一个交换群。

卷积差不多就这些。。。

莫比乌斯反演证明

(mu)函数的性质

为什么要发明这个函数呢，肯定是有道理的。
我们一般把(mu)看做是(u(x)=1)在卷积意义下的逆元。就是说它满足：

[muast u=e ]

1就是函数f(n)=1。展开来写就是

[sum_{dmid n}mu(d)*1 ]

当 (n=1)时，显然成立。
当 (n>1)时，根据唯一分解定理我们可以把n拆成(n=p^{k_1}_1*p^{k_2}_2*cdots*p^{k_n}_n)
当 (exists k_x=1)时，(mu)值肯定为0,所以我们把(k_x)都看作1。
而d枚举的就是n的因子，其实就是在n的质因子集合里取走任意个。所以这个式子可以写成这个样子：

[egin{align} sum_{dmid n}mu(d) =& mu(1)+mu(p_1)+mu(p_2)+cdots+mu(p_k)+mu(p_1p_2)+cdots+mu(p_1p_2cdots p_k) \ =& inom{k}{0}+inom{k}{1}(-1)+inom{k}{2}(-1)^2+cdots+inom{k}{k}(-1)^k \ =&(1-1)^k=0 end{align} ]

那么$$sum_{dmid n}mu(d)=1$$就得证了。

反演形式1证明

法1

莫比乌斯反演形式1就是，如果(f(n)=sum_{dmid n}g(d))，则(g(n)=sum_{dmid n}muleft(frac{n}{d} ight)f(d))
写成卷积的形式就是，如果(f=g*e)，则(g=f*mu)。
这样写就比原来哪样要好记而且简介多了。
有了之前的铺垫，接下来就很容易了。
把原方程两边乘一个(mu)

[f*mu=g*e*mu ]

[f*mu=g*(e*mu) ]

由于之前有证明(mu*e=1)所以就有(f*mu=g)于是得证。
感觉这种方法非常巧妙啊。。

法2

听知乎上大佬讲的，莫比乌斯反演其实就是偏序集上的容斥，简单理解了一下大概是这样的。
我们知道容斥定理的公式是

[g(S)=sum_{Vsubset S}f(V)implies f(S)=sum_{Vsubset S}(-1)^{mid Smid-mid Vmid}*g(V) ]

用叉姐的话将就是：n 个坏事都不发生的概率,可以通过 2 n 个同时发生的概率计算，定义一个由数映射到它质因子集合的映射，映射关系显然是整除，V看做是S的质因子但不是V的质因子的乘积，那么莫比乌斯反演定理就和容斥的式子长得一模一样了。(mu)就是((-1)^{mid Smid-mid Vmid})

反演形式2证明

以后再填坑。。感觉效率好低QAQ

(phi)和μ的关系

有一个经典公式就是：

[sum_{dmid n}phi(d)=n ]

这个公式怎么证明呢？
我们可以把它简记为

[phi*e=id ]

然后两边乘一个(mu)

[phi*(mu*e)=id*mu ]

[phi=id*mu ]

再化回来

[phi(n)=sum_{dmid n}mu(d)*lfloorfrac{n}{d} floor ]

μ只有在d质因数分解之后各个质因子个数为1的时候才有贡献，为奇数个因子的时候-，偶数为+，这不就是一个容斥求因子个数么。。于是左边等于右边，得证