基本图形生成算法

1、直线生成算法

所谓图元的生成，是指完成图元的参数表示形式（由图形软件包的使用者指定）到点阵表示形式（光栅显示系统刷新时所需的表示形式）的转换。通常也称扫描转换图元。

直线的扫描转换：确定最佳逼近于该直线的一组像素，并且按扫描线顺序对这些像素进行写操作。

三个常用算法：1、数值微分法DDA；2、中点画线法；3、Bresenham算法。

生成目标，求与直线段充分接近的像素集

生成前提条件:1、像素网格均匀，坐标为整数值；2、直线段的宽度为1；3、直线段的斜率k的取值范围为[-1,1]。

1.1 数值微分法

1.1.1 基本思想

已知过端点P0 (x0, y0), P1(x1, y1)的直线段L: y=kx+b 直线斜率为 k = (y₁ - y₀)/(x₁ - x₀)，x从左端点x₀开始，向右端点x₁以步长=1(个象素)，计算相应的y坐标y=kx+b；取象素点(x, y(x))作为当前点的坐标。

计算y_i+1 = kx_i+1+b          

        = k₁x_i+b+kDx

    = y_i+kDx     其中Dx =1; y_i+1 = y_i+k 。

1.1.2 分析

• 当x每递增1，y递增k(即直线斜率)；
• 注意上述分析的算法仅适用于|k| ≤1的情形。在这种情况下，x每增加1,y最多增加1。
• 当 |k| >1时，必须把x，y位置互换
• 按照直线从（x0，y0）到（x1，y1）的方向不同，分为8个象限。对于方向在第1a象限内的直线而言， Dx=1， Dy=k。对于方向在第1b象限内的直线而言，取值Dy=1， Dx=1/k。

对应关系如下图所示：

 

1.2 中点画线法

1.2.1 基本思想

当前像素点为p(x_p, y_p) ，下一个象素点为P1或P2。设M=(x_p+1, y_p+0.5)，为p₁与p₂的中点，Q为理想直线与x=x_p+1垂线的交点。将Q与M的y坐标进行比较。

如下图所示：

 

当M在Q的下方，则P2应为下一个象素点；

当M在Q的上方，应取P1为下一点。

1.2.2 分析

构造判别式:d=F(M)=F(x_p+1,y_p+0.5) = a(x_p+1)+b(y_p+0.5)+c

           其中a=y₀-y₁, b=x₁-x₀, c=x₀y₁-x₁y₀

当d<0，M在L（Q点）下方，取右上上方P_U为下一个像素；

当d>0，M在L(Q点)上方，取右方P_D为下一个像素；

当d=0，选P₁或P₂均可，约定取P_D为下一个像素；

d是x_p, y_p的线性函数，因此可采用增量计算，提高运算效率。初值d₀=F(x₀+1, y₀+0.5)=a+0.5b。

(1) 若当前象素处于d>=0情况，则取正右方像素P_D（x_p+1, y_p）, 要判下一个像素位置，应计算：d_i+1=F(x_p+2, y_p+0.5)=a(x_p+2)+b(y_p+0.5)=d+a； 增量为a。

(2) 若d<0时，则取右上方像素P_U（x_p+1, y_p+1）。要判断再下一像素，则要计算：d_i+1= F(x_p+2, y_p+1.5)=a(x_p+2)+b(y_p+1.5)+c=d+a+b ；增量为a＋b。

画线从(x₀, y₀)开始，d的初值d₀=F(x₀+1, y₀+0.5)=F(x₀, y₀)+a+0.5b =a+0.5b。

可以用2d代替d来摆脱小数，提高效率。

1. 2.3 实例演示

用中点画线法画出P0(0,0) ,P1(5,2)的直线。

首先构造出判别式：d = a(x_p+1)+b(y_p+0.5)+c 。其中a = y0 - y1 = -2，b = x1 - x0 = 5，c = x0y1 - x1y0 = 0。

则初值d0 = a + 0.5b = 0.5。取点P'(1,0)为下一个像素的位置。按照规则(1)、(2)计算，可以得到下列结果表：

i	xi	yi	d
1	0	0	0.5
2	1	0	-1.5
3	2	1	1.5
4	3	1	-0.5
5	4	2	2.5

用坐标表示，下图：

1.3、Bresenham算法

1.3.1 基本思想

过各行各列象素中心构造一组虚拟网格线。按直线从起点到终点的顺序计算直线与各垂直网格线的交点，然后根据误差项的符号确定该列象素中与此交点最近的象素。

 

1.3.2 分析

设直线方程为：     ，其中k=dy/dx。 因为直线的起始点在象素中心，所以误差项d的初值d0＝0。

x下标每增加1，d的值相应递增直线的斜率值k，即d＝d＋k。一旦d≥1，就把它减去1，这样保证d在0、1之间。

当d≥0.5时，最接近于当前象素的右上方象素（xi＋1，yi＋1）

当d<0.5时，更接近于右方象素（xi＋1，yi）。

为方便计算，令e＝d-0.5，e的初值为-0.5，增量为k。

当e≥0时，取当前象素（xi，yi）的右上方象素（xi＋1，yi＋1）；

当e<0时，更接近于右方象素（xi＋1，yi）。

1.3.3 实例演示

用Bresenham算法画出P0(0,0) ,P1(5,2)的直线。

计算得出斜率k = dy/dx = 0.4。

结果如下表：

i	x	y	e
1	0	0	-0.5
2	1	0	-0.1
3	2	1	0.3
4	3	1	-0.3
5	4	2	0.1
6	5	2	-0.5

坐标表示：

上述Bresenham算法在计算直线斜率与误差项时用到小数与除法。可以改用整数以避免除法。由于算法中只用到误差项的符号，因此可作如下替换

这样e’的初值是-dx，由于k=dy/dx，所以e’的增量就变为2*dy。

1.3.4 Bresenham算法的优点

• 不必计算直线斜率，因此不做除法；
• 不用浮点数，只用整数；
• 只做整数加减法和乘2运算，而乘2运算可以用硬件移位实现。
• Bresenham算法速度很快，并适于用硬件实现。

2、圆弧生成算法

圆的特征：八对称性，只要扫描转换八分之一圆弧，就可以求出整个圆弧的像素集。

2.1 中点Bresenham画圆法

考虑中点在原点，半径为R的第二个八分圆，构造判别式（圆方程）：

若d<0，则取p1为下一像素，并且下一像素的判别式为：

若d>=0，则取p2为下一像素，并且下一像素的判别式为：

第一个像素是(0,R)，判别式d的初始值为：

为了进一步提高算法的效率，可以将上面的算法中的浮点数改写成整数，将乘法运算改成加法运算，即仅用整数实现中点画圆法。使用e=d-0.25代替de0=1-R。

3、多边形填充算法

多边形有两种重要的表示方法：顶点表示法和点阵表示法。

多边形的扫描转换：把多边形的顶点表示转换为点阵表示。

共有4种方法：逐点判断法、扫描线法、边缘填充法、种子填充法。

3.1 逐点判断法

逐个判断绘图窗口被的像素是否在多边形内。

判断点是否在多边形内部的方法：射线法，累计角度法。

3.1.1 射线法

从待判断点v发出射线，求交点个数k，k的奇偶性决定了点与多边形的内外关系：

         若k为基数，则点在多边形内。

         若k为偶数，则点在多边形外。

3.1.2 累计角度法

         从v点向多边形p顶点发出射线，形成有向角   。

         计算有向角的和，得出结论：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　

3.2 扫描线法

3.2.1 基本思想

利用一条扫描线上的像素存在着连贯性这一特征（区域连贯性、扫描线连贯性和多边形边的连贯性）。避免对像素逐点判断和反复求交的运算。

1）区域连贯性：对于相邻的两个区域必有一区域是在多边形内部，另一个区域在多边形外部。

2）扫描线的连贯性：若扫描线y=j与多边形p相交，则交点数是偶数。且在扫描线上，只有区段位于多边形p内。

3）边的连贯性：若多边形p的边与扫描线y=k1至y=k2都相交，则边有下面关系：x_i+1 = x_i + 1/m。其中m=(Y₂-Y₁)/(X₂-X₁)  为多边形边的线段的斜率。

 

3.2.2 算法步骤

1. 求交：计算扫描线与多边形各边的交点；
2. 排序：把所有交点按x值递增顺序排序；
3. 配对：第一个与第二个，第三个与第四个等等；每对交点代表扫描线与多边形的一个相交区间；
4. 填色：把相交区间内的象素置成多边形颜色，把相交区间外的象素置成背景色。

3.3 改进的扫描线算法（Y-X）

扫描线（Y-X）算法中扫描线要和所有的边求交，效率较低。因为一条扫描线往往只和少数几条边相交。

3.3.1 算法思想

利用两个连贯性：

1.边的连贯性：当某条边与当前扫描线相交时，它很可能也与下一条扫描线相交。

当前扫描线与多边形某一条边的交点的x坐标为x，则下一扫描线与该边的交点不要重计算，只要加一个增量△x。

设该边的直线方程为：ax+by+c=0，若y＝y_i，x=x _i；则当y = y _i+1时，其中△x = -b/a为常数。

2.扫描线的连贯性：当前扫描线与各边的交点顺序，与下一条扫描线与各边的交点顺序很可能相同或类似。

Y-X算法的主要思想：

         1、与当前扫描线相交的边称为活动边（active edge)，把它们按与扫描线交点x坐标递增的顺序存入一个链表中，称为活动边表（AET, Active edge table)。

         2、只需对当前扫描线的活动边表作更新，即可得到下一条扫描线的活动边表。

3.3.2 数据结构

活性边表(AET)：把与当前扫描线相交的边称为活性边，并把它们按与扫描线交点x坐标递增的顺序存放在一个链表中。

结点内容:

 x：当前扫描线与边的交点坐标

△x：从当前扫描线到下一条扫描线间x的增量

ymax：该边所交的最高扫描线号y_max

边表桶（NET）： 存放在该扫描线第一次出现的边。若某边的较低端点为ymin，则该边就放在扫描线ymin的新边表中。

3.4 边缘填充算法

求余运算：假定A为一个正整数，则M的余定义为A – M, 记为   。计算机中取A为n位能表示的最大整数。即，A=0xFFFFFFFF。

3.4.1 基本思想

对于每条扫描线和每条多边形边的交点，将该扫描线上交点右方的所有像素取余。

①  将绘图窗口的背景色置为   ；

②  对多边形的每一条非水平边，从该边上的每个象素开始向右求余；

• 适合用于具有帧缓存的图形系统。处理后，按扫描线顺序读出帧缓存的内容，送入显示设备。
• 优点：算法简单
• 缺点：对于复杂图形，每一象素可能被访问多次，输入/输出的量比有序边表算法大得多。

3.4.2 栅栏填充算法

• 引入栅栏，以减少填充算法访问象素的次数
• 栅栏：与扫描线垂直的直线，通常过一顶点，且把多边形分为左右二半。
• 基本思想：扫描线与多边形的边求交，将交点与栅栏之间的象素取补。
• 减少了象素重复访问数目，但不彻底。

3.4.3 边界标志算法

基本思想：

帧缓冲器中对多边形的每条边进行直线扫描转换，即对多边形边界所经过的象素打上标志，然后再采用和扫描线算法类似的方法将位于多边形内的各个区段着上所需颜色。使用一个布尔量inside来指示当前点是否在多边形内的状态。

3.4.4 区域种子填充算法

1.区域的定义：

1）内定义区域：区域内部具同一种颜色,外部有一种颜色。

2）边界定义区域：边界具有一种特定颜色，边界内具有不是新值（填充色）。

3）四连通区域：各像素在水平和垂直四个方向是连通的。

4）八连通区域：各像素在八个方向是连通的。

区域填充指先将区域的一点赋予指定的颜色，然后将该颜色扩展到整个区域的过程。区域填充算法要求区域是连通的 。

• 边界点表示的区域：内部像素值为指定值。
• 内部点表示的区域：原色换为新色。
• 填充时有一个像素为已知，称为“种子”

4、反走样

用离散量表示连续量引起的失真现象称之为走样(aliasing)，光栅图形走样的现象有：

n  阶梯状边界

n  图形细节失真（图形中的那些比像素窄的细节变宽）

n  狭小图形遗失和动态图形的闪烁

用于减少或消除这种效果的技术成为反走样(antialiasing)

4.1 提高分辨率

把显示器分辨率提高一倍:直线经过两倍的像素，锯齿也增加了一倍，但同时每个阶梯的宽度也减小了一倍。所以显示出的直线段看起来就平滑了一些。

优缺点：增加了分辨率虽然简单，但不是一种经济的方法；显示器的水平、竖直分辨率各提高一倍，则显示器的点距就减少一倍，帧缓存容量则增加到原来的四倍，而扫描转换同样大小的图元却要花4倍的时间。而且它只能减轻而不能消除锯齿现象。

4.2 区域采样

4.2.1 简单区域采样的基本原理

两个假设：

1.像素是数学上抽象的点，它的面积为0，它的亮度由覆盖该点的图形的亮度所决定；

2.直线段是数学上抽象直线段，它的宽度为0。

但是现实中的像素面积不为0，直线段的宽度至少为一个像素。假设与现实的矛盾是导致走向现象出现的原因之一。

每个象素是一个具有一定面积的小区域，将直线段看作具有一定宽度的狭长矩形。当直线段与象素有交时，求出两者相交区域的面积，然后根据相交区域面积的大小确定该象素的亮度值。

4.2.2 像素相交的五种情况

4.2.3有宽度的线条轮廓

4.2.4 面积计算

• 情况(1)(5)阴影面积为：D²/2m
• 情况(2)(4)阴影面积为：D - m/2
• 情况(3)阴影面积为：1 - D²/m
• 上述阴影面积是介于0-1之间的正数，用它乘以象素的最大灰度值，再取整，即可得到象素的显示灰度值。这种区域取样法的反走样效果较好。

为了简化计算可以采用离散的方法：n=9，k=3近似面积为1/3

首先将屏幕象素均分成n个子象素 ，然后计算中心点落在直线段内的子象素的个数k，将屏幕该象素的亮度置为相交区域面积的近似值可k/n。

4.2.5 非加权区域采样方法有两个缺点

• 象素的亮度与相交区域的面积成正比，而与相交区域落在象素内的位置无关，这仍然会导致锯齿效应。
• 直线条上沿理想直线方向的相邻两个象素有时会有较大的灰度差。

4.3 加权区域采样

4.3.1基本思想

使相交区域对象素亮度的贡献依赖于该区域与象素中心的距离，当直线经过该像素时，该像素的亮度F是在两者相交区域A’上对滤波器（函数w）进行积分的积分值：

滤波器函数w可以取高斯滤波器：

4.3.2 采用离散计算方法

如：我们将屏幕划分为n=3×3个子象素，加权表可以取作：

权函数w(x,y)为微面dA与像素中心距离d的函数，然后求出所有中心落于直线段内的子像素，最后计算出所有这些子像素对原像素亮度贡献之和乘以像素的最大灰度值作为该像素的显示灰度值。

特别地，当每个权值都相等时，加权区域采样就退化为非加权区域采样。

5、裁剪

5.1 概念

确定图形中哪些部分落在显示区域之内，哪些落在显示区域之外，显示器只显示落在显示区域内的图形。这个过程称为裁剪。

5.2 编码裁剪

5.2.1 基本思想

对于每条线段P₁P₂分为三种情况处理:

（1）若P₁P₂完全在窗口内，则显示该线段

（2）若P₁P₂明显在窗口外，则丢弃该线段

（3）若线段不满足“取”或 “弃”的条件，则在交点处把线段分为两段。其中一段完全在窗口外，可弃之。然后对另一段重复上述处理。

 为了快速判断采用编码方法：每个区域赋予4位编码：

若P₁P₂完全在窗口内code1=0,且code2=0,则“取”

若P₁P₂明显在窗口外code1&code2≠0，则“弃”

在交点处把线段分为两段。其中一段完全在窗口外，可弃之。然后对另一段重复上述处理

 5.2.2 区域编码表

5.2.3 实例

C1=C2=0   线段在窗口内,线段直接接收(B线段)。

C1&C2!=0  线段在窗口外,线段直接舍弃(C线段) 。

C1&C2=0   线段与窗口有交点(A线段)

5.3 中点分割裁剪算法

5.3.1 基本思想

当一条线断不能直接接受也不能直接舍弃时，则将其线段拆成一半，再并分别测试线段，通过二分法搜索方式直至线段被接受，如图所示：

 

A、B分别为距P₀、P₁最近的可见点，Pm为P₀P₁中点。

中点分割裁剪法优点：计算速度快,因为算法简单，算法只需作位移计算。

5.3.2 算法步骤

从P₀出发找最近可见点采用中点分割方法

先求出P₀P₁的中点Pm

若P₀Pm不是显然不可见的，并且P₀P₁在窗口中有可见部分，则距P₀最近的可见点一定落在P₀Pm上，所以用P₀Pm代替P₀P₁

否则取PmP₁代替P₀P₁

再对新的P₀P₁求中点Pm。重复上述过程，直到PmP₁长度小于给定的控制常数为止，此时Pm收敛于交点

从P₁出发找最近可见点采用上面类似方法。

5.4 梁友栋-Barskey算法

5.4.1 主要思想

将线段P₁P₂表示为参数形式：

确定始边和终边：左→右，右→左，下→上，上→下。

 

两组交点：1、与始边交点A和C，参数为r1和r3；2、与终边交点B和D，参数为r2和r4。

裁剪矩形内的先端部分由参数u1和u2定义：u1 = max(0,r1,r3);u2 = max(1,r2,r4)。

两个问题：1、如何确定始边和终边？2、怎样求r1,r2,r3,r4？

解决方法：

线段的参数化形式

参数化形式的裁剪条件

5.4.2 分析

第一个问题：求解线段与左、右、下、上边界的交点参数r1，r2，r3和r4。

可统一表示为：

其中：

第二个问题：如何确定始边和终边？

特殊情况：

当pk=0且qk<0，

         则线段完全在边界外，qk≥0，则该线段平行于裁剪边界并且在窗口内

当p_k≠0时

• 当p₁<0，p₂ >0，则Δx>0，线段从左边界到右边界。
• 当p₁ >0，p₂<0，则Δx<0，线段从右边界到左边界。
• 当p₃<0，p₄ >0，则Δy>0，线段从下边界到上边界。
• 当p₃ >0，p₄<0，则Δy<0，线段从上边界到下边界。
• 当p_k<0,线段从裁剪边界延长线的外部延伸到内部。该边界作为始边。
• 当p_k>0,线段从裁剪边界延长线的内部延伸到外部。该边界作为终边。

对于每条直线，裁剪矩形内的线段部分由参数u1和u2定义

• u1的值由线段的始边边界（即：从外到内遇到的矩形边界）(p<0)所决定。对这些边界计算r_k。u1取0和各个r_k值之中的最大值
• u2的值由由线段的终边边界（即：线段从内到外遇到的矩形边界）(p>0)所决定。对这些边界计算r_k。u2取1和各个r_k值之中的最小值
• 如果u1>u2，则线段完全落在裁剪窗口之外，被舍弃，否则裁剪线段由参数u的两个值u1,u2计算出来

5.4 多边形逐边裁剪算法

5.4.1 多边形裁剪的原则

多边形裁剪结果仍是一个或多个多边形。

多边形裁剪重点考虑问题：把多边形落在窗口边界上的交点正确地按序连接成裁剪后的多边形（其中包括决定窗口边界及拐角的取舍）。

5.4.2基本思想

每次用窗口的一条变界对要裁剪的多边形进行裁剪，把落在窗口外部区域的图形去掉，保留窗口内部区域的图形，并把它作为下一次待裁剪的多边形。

5.4.3 算法实现步骤

　　1).指定多边形的顶点序列P

　　2).取一条窗口裁剪多边形的边e依次检查顶点序列种的每个顶点p[I]。

并由下面的判断：

         a.处于e边可见侧被列入新产生的顶点序列Q[j]中。

         b.处于e边不可见侧的顶点则被删除。

　　3)检查p[I]与p[i+1]是否处于同则，若不是则求交点，求得的交点列入新多边形顶点序列Q[j]中。如图所示：

　　4)取裁剪窗口的右边界为裁剪边,则有新顶点序列由红色的点组成。

　　5)依次再用底边、左边和顶边分别对作裁剪。最终获得裁剪后的多边形。

5.4.4 裁剪过程

5.5 双边裁剪算法

算法基本思想与步骤

设用户的多边型为主多边形ps，而裁剪窗口为裁剪多边形pc.

算法首先沿ps任一点出发，各跟踪检测ps的每一条边，当ps与pc的有效边相交时：

（1）若ps的边进入pc，则继续沿ps的边往下处理，并输出

（2）若ps的边是从pc中出来，则从该点（称为前交点）开始，沿着窗口边向右检测pc的边，找到ps与pc最靠近的前交点的新交点。同时输出由前交点到新交点的线段。

（3）返回到前交点，继续（1）~ (3)的步骤。

主多边形和裁剪多边形把二维平面分成两部分

内裁剪：A∩B

外裁剪：A-B

裁剪结果区域的边界由A的部分边界和B的部分边界两部分构成，并且在交点处边界发生交替，即由A的边界转至B的边界，或由B的边界转至A的边界 。