图论，最短路径问题总结

维基百科定义最短路：

一个有6个节点和7条边的图

最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题， 旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。 算法具体的形式包括：

• 确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题。适合使用Dijkstra算法。
• 确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。
• 确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。
• 全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径。适合使用Floyd-Warshall算法。

用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”， 有时被简称作“路径算法”。 最常用的路径算法有：

• Dijkstra算法
• A*算法
• Bellman-Ford算法
• SPFA算法 (Bellman-Ford算法的改进版本)
• Floyd-Warshall算法
• Johnson算法
• Bi-Direction BFS算法

1.floyd算法  （弗洛伊德）（n^3复杂度）

基本思想：开始设集合S的初始状态为空，然后依次将0,1，。。n-1定点加入，同时用d[i][j]保存从i到j，仅经过S中的定点的最短路径，在初始时刻，d[i][j] = A[i][j]中间不经过任何节点，然后依次向S中插入节点，并进行如下更新
d(k)[i][j] = min{  d(k-1)[i][j] ,  d(k-1)[i][k]+d(k-1)[k][j]  }
还可以使用一个二维数组path指示最短路径。
path[i][j]给出从定点i到j的最短路径上，定点i的前一个顶点
代码相当简单，最容易的实现方法：

for (k = 0;k < n;k++)
for (i = 0;i < n;i++)
for (j = 0;j < n;j++)
{
	if (d[i][k] + d[k][j] < d[i][j])
	{
		d[i][j] = d[i][k] + d[k][j];
		path[i][j] = path[k][j];
	}
}

可以通过递推得出路径的。。

2.dijstra （迪杰斯特拉算法）算法

单源最短路问题，先加入源，维持一张表来保存此时到源中的最短距离，选取最小的加入，然后更新表，不断的加入直到目的地在源中。仅适用于正边权的时侯，因为这时我们可以保证任意加入的点已经找到了源到该点的距离。

 

3.bellman-ford算法

 

最优性原理

最优性原理介绍及简单证明见：http://blog.csdn.net/liguanxing/article/details/7401798

它是最优性原理的直接应用，算法基于以下事实：

如果最短路存在，则每个顶点最多经过一次，因此不超过n-1条边；

长度为k的路由长度为k-1的路加一条边得到；

由最优性原理，只需依次考虑长度为1，2，…，k-1的最短路。

 

适用条件&范围

单源最短路径(从源点s到其它所有顶点v);

有向图&无向图(无向图可以看作(u,v),(v,u)同属于边集E的有向图);

边权可正可负(如有负权回路输出错误提示);

 差分约束系统（需要首先构造约束图，构造不等式时>=表示求最小值,作为最长路，<=表示求最大值,作为最短路。<=构图时,有负环说明无解；求不出最短路（为Inf）为任意解。>=构图时类似）。  

 

算法描述

 1）对每条边进行|V|-1次Relax操作;

 2）如果存在(u,v)∈E使得dis[u]+w<dis[v],则存在负权回路;否则dis[v]即为s到v的最短距离,pre[v]为前驱。  

 

for i:=1 to |V|-1 do //进行|v|-1次松弛得最短距离
    for 每条边(u,v)∈E do   
        Relax(u,v,w);
for每条边(u,v)∈E do //判断是否存在负权环
    if dis[u]+w<dis[v] 
        Then Exit(False)

算法时间复杂度O(VE)。因为算法简单，适用范围又广，虽然复杂度稍高，仍不失为一个很实用的算法。  

改进和优化  如果循环n-1次以前已经发现不存在紧边则可以立即终止；

 

 

4.spfa算法

SPFA(Shortest Path Faster Algorithm)是Bellman-Ford算法的一种队列实现，减少了不必要的冗余计算。它可以在O(kE)的时间复杂度内求出源点到其他所有点的最短路径，可以处理负边。

 

 

算法流程  

SPFA对Bellman-Ford算法优化的关键之处在于意识到：只有那些在前一遍松弛中改变了距离估计值的点，才可能引起他们的邻接点的距离估计值的改变。因此，算法大致流程是用一个队列来进行维护，即用一个先进先出的队列来存放被成功松弛的顶点。初始时，源点s入队。当队列不为空时，取出队首顶点，对它的邻接点进行松弛。如果某个邻接点松弛成功，且该邻接点不在队列中，则将其入队。经过有限次的松弛操作后，队列将为空，算法结束。SPFA算法的实现，需要用到一个先进先出的队列 queue 和一个指示顶点是否在队列中的标记数组mark。为了方便查找某个顶点的邻接点，图采用临界表存储。

Procedure SPFA;
 
Begin
   initialize-single-source(G,s);
   initialize-queue(Q);
   enqueue(Q,s);
   while not empty(Q) do begin
      u:=dequeue(Q);
      for each v∈adj[u] do begin
         tmp:=d[v];
         relax(u,v);
         if (tmp<>d[v]) and (not v in Q) then enqueue(Q,v);
         end;
      end;
End;

注意：spfa算法只有在不存在负权环的情况下可以正常的结束，如果存在负权环，那么将总有顶点在入队和出队往返，队列无法为空，这种情况下SPFA无法正常结束。可以通过添加一个变量表示每个顶点进入队列的次数，如果大于|v|那么就可以说明存在负权环