退群咕咕墙

1021：
以下均默认在定义域为((0,inf))的前提下讨论。

把(F(x)=G(x))变一个形，可以得到：

[a=frac{xe^x+1}{e^x -1} ]

题意转化为(y=a)和右边这个函数只有一个交点，这个函数设为(H(x))

对(H(x))求导，过程不展开了，结果是：

[H'(x)=frac{e^x imes (e^x-x-2)}{(e^x-1)^2} ]

(e^x,e^x-1)在(x>0)时恒大于(0)，只需要考察((e^x-x-2))。设((e^x-x-2)=0)的正根为(x_0)，则(H'(x))在((0,x_0))上(<0),在((x_0,inf))上(>0),那么(H(x))的极小值为(H(x_0))。由于(x_0)满足(e^{x_0}=x_0+2)，所以(H(x_0)=frac{x_{0}(x_0+2)+1}{(x_0+2)-1}=frac{(x_{0}+1)^2}{(x_0+1)}=x_0+1),由于(x_0)在((1,1.5))之间，所以(H(x_0))在((2,2.5))之间。

根据导函数可以画出大致图像，在最下方。至此，我们如果能再证明在(x)趋近于(0)或(inf)的时候，函数值也趋近于(inf)时，就完成了证明，因为任何的(a>H(x_0))在定义域上一定有两个解，任何的(a<H(x_0))在定义域上一定没有解，不符合题意。

下面给出这两个命题的感性证明。

证明(x)趋近于 (inf) 时函数值趋近于(inf)：

[H(x)=frac{xe^x+1}{e^x -1}=x+frac{x+1}{e^x -1}> x ]

因为(x)趋近于(inf)时，其本身趋近于(inf)，故(H(x))作为一个严格大于(x)的函数，(x)趋近于(inf)时，其本身趋近于(inf)。

证明(x)趋近于 (0) 时函数值趋近于(inf)：

[H(x)=frac{xe^x+1}{e^x -1}> frac{1}{e^x -1} ]

因为(x)趋近于 (0) 时，(frac{1}{e^x -1})趋近于(inf)，故(H(x))作为一个严格大于(frac{1}{e^x -1})的函数，(x)趋近于(inf)时，其本身趋近于(inf)。