高数书上边的定义如下：
设{}为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式
|-a|<ε都成立，那么就称常数a是数列{
}的极限，或者称数列{
}收敛于a,记为
或
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这个我们初学数学分析的时候都遇到过这种不理解的感觉。其实真的很容易解释。
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首先讲一讲历史，极限的概念刚出来的时候，是不严密的，牛顿那个年代的以及之后有很多人都认为，求极限，这是很诡异的东西。这引起了一场数学危机。去看看欧拉的经典，有本书就叫《无穷小分析》。极限这个概念贯穿了整个分析学，这是一个基础的概念，为了使这个概念严密起来，多位数学家对此做出了贡献，现在我们最常用的，也就是楼主说的那个定义是威尔斯特拉斯提出的，讲极限，建立在无可争议的算数的基础之上。
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也就是说，这是极限的算术化。
于是现在我们来这么理解这个定义：
首先，a是数列的极限，也就是说，数列里面的项应该随着n的增长越来越接近于这个极限值，那么接近的程度越来越大，用算术的语言来说就是数列的项与极限值的距离（也就是两个数的差）越来越小，这个小的程度用个不等式来表达，我们就有了ε，这里说任意的ε，其实是说任意小的ε，也就说明了项与极限值的距离可以任意小，任意任意超级特别及其小都可以。
但是，每次取定一个ε，不可能对于数列的每一项都能与极限值接近到这样的程度，所以有了N，这就像是一个门槛，过了这个门槛，我们就能够保证这之后的每一项都可以达到这么接近的程度。至于之前的项，那就无所谓啦啦，只有有限项而已。所以有n>N,这个东西。每次ε变得更小，也就是说误差变得越小，前面就会有越来越多的项不能达到接近程度而被踢出去，也就是说N会越来越大，但不论怎么说，总是有限的，而后面有无限项达到了接近的要求，也就是满足那个不等式。门槛越来越高，要过门槛的n自然必须高过门槛才过的去。
===============就是这么个简单的意思，以后还会看到函数极限，类似的，但复杂一点点。（引用别人的话的地址：https://www.douban.com/group/topic/52505648/，觉得讲的很清晰就直接引用了）