- 本篇很多推论基于质数唯一分解定理，请读者先行了解。
欧拉函数
定义
有两种：
-
定义欧拉函数 (varphi(x)) 表示小于 (x) 且与 (x) 互质的数的个数，定义 (1) 与任何数互质。
-
定义剩余类 (c_i) 是 (mod;x=i) 的数的集和，即所有 (a\%x=i) 的 (a)。一般可以用其中的一个 (a) 代表。
由于 (gcd(a,x)=gcd(x,a\%x)) ，所以剩余类中的数和 (x) 的 (gcd) 都是一样的。这代表了只要剩余类中有一个数和 (x) 互质，这个剩余类中的所有数都与 (x) 互质。
定义缩剩余类 是与 (x) 互质的数所在的剩余类。所有的缩剩余类组成缩系，一般可以从每个缩剩余类中选一个数来组成一个数列代表缩系。
定义欧拉函数 (varphi(x)) 是 (mod;x) 的缩剩余类个数。
性质
建议读者仔细品味欧拉函数的两个定义，下面的证明将从这两方面思考。
-
对于质数 (p) (varphi(p)=p-1) 。显然成立。
-
对于质数 (p) ，(varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}) ，(p^k) 只与 (p) 的整数倍不互质。(p^k) 以内 一共有 (frac{p^k}{p}) 个 (p) 的倍数。
-
任意大于 (2) 的数 (n) ，(varphi(n)) 是偶数。因为 (gcd(n,x)=gcd(x,n-x)) （不会可以在本人博客找到证明），所以与 (n) 互质的数都是成对出现的。
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欧拉函数的积性 ：（这个证法有点弱，有用 (CRT) 证明其通项再来证明这个的）
对于互质的两个数 (m) , (n) ，有 (varphi(mn)=varphi(m)varphi(n)) 。
证明：
将问题分成两个子问题
设 (x_i) 是 (n) 的一个缩剩余类，(y_i) 是 (m) 的一个缩剩余类。
- 证明可以用 (x_im+y_in) 来表示 (mn) 的的一个缩剩余类，且不会重复。
- 证明 (mn) 的所有缩剩余类都可以用 (x_im+y_in) 表示。
这样就可以证明积性
下面来证明这些子问题：
Ⅰ.
(first) : 证明 (x_im+y_in) 是 (mn) 的的一个缩剩余类
[ecause gcd(m,n)=1\ egin{align} gcd(x_i,n)=1implies gcd(mx_i,n)=1implies gcd(mx_i+ny_i,n)=1 ag{更相减损} \ gcd(y_i,m)=1implies gcd(ny_i,m)=1implies gcd(ny_i+mx_i,m)=1\ end{align}\ herefore gcd(ny_i+mx_i,mn)=1 ]证毕。
(second) ：证明(x_im+y_in) 不会重复表示一个缩剩余类
反证法：
[f 设 mit x_km+y_kn f和mit x_im+y_inf 在varphi(mn)的同一个缩剩余类里\ 那么有：mit x_km+y_knequiv x_im+y_inquad(mod;mn)\ implies x_km+y_knequiv x_im+y_inquad(mod;m)\ implies y_knequiv y_inquad(mod;m) implies y_k=y_i\ f 同理，x_k=x_i ]与假设矛盾，所以(x_im+y_in) 不会重复表示一个剩余类。
Ⅱ.
设 (Z) 是 (mn) 的一个缩剩余类中的元素。
[egin{align} exists x_0m+y_0n=1 ag{裴蜀定理} end{align}\ implies Zx_0m+Zy_0n=Z\ implies mq+np=Zimplies gcd(mq+np,mn)=1 \implies gcd(mq+np,n)=1implies gcd(mq,n)=1\ ecause gcd(m,n)=1quad herefore gcd(q,n)=1 ]所以 (q) 是 (n) 的缩剩余系中的元素，同理 (p) 是 (m) 的缩剩余系中的元素。即所有的 (mn) 的缩剩余类都可以用(x_im+y_in) 表示。
-
欧拉函数的通项式:
(varphi(m)=m(1-frac{1}{p_1})(1-frac{1}{p_2})dots(1-frac{1}{p_k})) 其中 (k) 是 (m) 的质因子。
证明：
根据唯一分解定理，我们知道任意数 (m) 可以表示为：(p_1^{a_1}p_2^{a_2}dots p_k^{a_k})。
由于 (p) 是质数， 所以(varphi(p_i^{a_i})=p_i^{a_i}-p_i^{a_i-1}=p_i^{a_i}(1-frac{1}{p_i})) （见条目 (2.)）。而质因子的幂彼此互质，所以
-
小于 (n) 且与其互质的数之和为 (frac{varphi(n)}{2} imes n) 。由于 (gcd) 我们知道小于 (n) 且和 (n) 互质的数是成对出现的，且两两相加为 (n) 。于是易得。
-
欧拉反演（等会了再补）
如何求欧拉函数
通项公式
根据欧拉函数的通项，我们可以质因数分解一个数，同时求其欧拉函数值。
int get_euler_1(int x){
int ret=x;
for(int i=2;i*i<=x;i++){
if(x%i == 0){
ret=ret/i*(i-1);
while(x%i == 0){
x/=i;
}
}
}
if(x>1) ret=ret/x*(x-1);
return ret;
}
线性求法
欧拉函数是积性函数，有如下性质：
-
质数 (p) 的欧拉函数值为 (p-1)。
-
互质两数 (a) ，(b) ，(varphi(ab)=varphi(a) imes varphi(b)) 。
-
对于 (a)，(p) ，如果 (p) 是 (a) 的质因子，(varphi(ap)=p imesvarphi(a)) 。
这样我们就能在线性筛素数时求欧拉函数。
int get_euler_2(int x){
inp[0]=inp[1]=1;
for(int i=2;i<=x;i++){
if(!inp[i]){
phi[i]=i-1;
prime[++tot]=i;
}
for(int j=1;j<=tot && prime[j]*i<=x;j++){
int tp=prime[j]*i;
inp[tp]=1;
if(i%prime[j] == 0){
phi[tp]=phi[i]*prime[j];
break;
}
phi[tp]=phi[i]*phi[prime[j]];
}
}
return phi[x];
}
欧拉定理
定义
对于互质的两数 (a) ，(m) ：
证明
设 (r_1,r_2,dots,r_{varphi(m)}) 是 (m) 的缩剩余系，由于 (a) 和 (m) 互质，(ar_1,ar_2,dots,ar_{varphi(m)}) 也是 (m) 的缩剩余系。那么：
可以看出， (m) 是质数时 (varphi(m)=m-1) ，即费马小定理。
代码
直接看拓欧吧。没有欧拉的板子。
扩展欧拉定理
定义
证明
首先，我们可以简化一下问题。
我们要证
将 (a) 质因数分解，得：
对于与 (m) 互质的 (p_i) ，显然有 (p_i^{b}=p_i^{bvarphi(m)+varphi(m)}quad (mod;p)) （欧拉定理）。
那么只要证明了对于和 (m) 不互质的 (p_i) 也有此性质，就有：
于是问题就简化成了求 (m) 的一个质因子 (p) 满足 (p^bequiv p^{b\%varphi(m)+varphi(m)})
证明如下：
-
将 (m) 分解成 (p^ks) ，由于 (p) 与 (s) 互质。就有：
[p^{varphi(s)}equiv 1quad(mod;s) ]又因为 (aequiv b quad(mod s)quad&quad cequiv dquad(mod s)implies acequiv bdquad(mod s)) （想不通为什么可以从同余定义角度思考）。
我们可以得出 (p^{x imesvarphi(s)}equiv 1quad(mod;s)) 。
又因为欧拉函数是积性函数，所以 (varphi(s)midvarphi(m)) 。
就可以得出 (p^{varphi(m)}equiv 1equiv p^{varphi(s)} quad(mod;s)) 。
-
继续推：
又因为 (p^{varphi(m)}equiv p^{varphi(s)} quad(mod;m)) ，所以 (p^{varphi(m)+k}equiv p^kquad(mod;m))。
-
由此可知有：
[p^bequiv p^{b-k}p^kequiv p^{b-k+varphi(m)+k}equiv p^{b+varphi(m)}quad(mod;m) ]条件是 (bgeq k) 。
这时又有一个推论： 对于(m=p^qs) ，有(varphi(m)geq q) 。
先单独考虑质因子 (p^q) ，即证明(varphi(p^q)=p^{q-1}(p-1)geq q) ，当 (p=2) 时为 (p^{q-1}geq q)：
首先 (q=2) 时成立。然后对于 (q> 2) 的情况，我们假设 (q-1) 时 (2^{q-1}geq q-1) 成立：
[2^q=2 imes 2^{q-1}geq 2 imes q-2 ]由于 (q>2) 所以 (2^qgeq q) ，当且仅当 (q=2) 时取等。
又因为 (p^{q-1}(q-1)) 是个增函数，(p) 增大时就显然成立。
那么就有 (bgeq k geq varphi(m)) 。即函数成立条件为 (bgeq varphi(m)) 。
-
我们要将 (b) 尽量变小，即减去尽量多的 (varphi(m)) 。而上面的函数可表示为：
(p^{x}equiv p^{x+varphi(m)}quad(mod;m)) ，那么将 (x-varphi(m)) 代入 (x) 就有 (p^{x-varphi(m)}equiv p^xquad(mod;p)) 。注意这时定义域为 (x-varphi(m) geq varphi(m)implies xgeq 2varphi(m)) 。
我们不可能一个一个地减去 (varphi(m)) 最好的做法是取模，然而这样不能保证 (xgeq 2varphi(m))
于是我们要再加上一个 (varphi(m)) 。即有 (p^bequiv p^{b\%varphi(m)+varphi(m)}quad(mod;m) qquad bgeq 2varphi(m)) 。
当 (b) 在 (varphi(m)) 和 (2 varphi(m)) 之间时这么做也没有区别，我也不知道为什么要分在第三类中
大概是好记。
证毕。
好长。
code
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef int int_;
#define int long long
char bb[20000050];
int aa,m,bbb;
int phi,ans;
int gcd(int a,int b){
return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
if(b==0){
x=1,y=0;
}
else{
exgcd(b,a%b,y,x);
y-=(a/b)*x;
}
}
int getphi(int x){
int ret=1;
for(int i=2;i*i<=x && x!=1;i++){
if(x%i != 0) continue;
ret *= i-1;
x/=i;
while(x%i==0){
ret*=i;
x/=i;
}
}
if(x>1) ret*=x-1;
return ret;
}
int ksm(int x,int q,int p){
int ret=1;
while(q>0){
if(q&1) ret=(ret*x)%p;
x=(x*x)%p;
q>>=1;
}
return ret;
}
int_ main()
{
bool flag=false;
scanf("%lld %lld %s",&aa,&m,bb);
phi=getphi(m);
int len=strlen(bb);
for(int i=0;i<len;i++){
bbb=bbb*10+(int)(bb[i]-'0');
if(bbb>=phi){
bbb%=phi;
flag=true;
}
}
if(flag) ans=ksm(aa,bbb+phi,m);
else ans=ksm(aa,bbb,m);
printf("%lld",ans);
return 0;
}
部分证明思路来源：