中国剩余定理

CRT

其实 (EX) 很简单，和普通几乎一样，先上普通版只是心理缓冲 为什么普通版还没淘汰啊。

1. 作用：

   解线性同余方程组。

   即：

   [egin{cases} xequiv a_1quad(mod;m_1)\ xequiv a_2quad(mod;m_2)\ quad dots\ xequiv a_kquad(mod;m_k)\ end{cases} ]

   限定： (m) 之间两两互质。

2. 方式：

   分别解：

   [egin{cases} xequiv a_1quad(mod;m_1)\ xequiv 0quad(mod;m_2)\ quad dots\ xequiv 0quad(mod;m_k)\ end{cases} egin{cases} xequiv 0quad(mod;m_1)\ xequiv a_2quad(mod;m_2)\ quad dots\ xequiv 0quad(mod;m_k)\ end{cases} egin{cases} xequiv 0quad(mod;m_1)\ xequiv 0quad(mod;m_2)\ quad dots\ xequiv a_kquad(mod;m_k)\ end{cases} ]

   解法：

   设 (M=prod_{i=1}^k m_i) ，(M_i=frac{M}{m_i}) 。

   这样就保证了 (M_i) 除了模 (m_i) 以外都为 (0) 。然后我们要解 $M_it_iequiv a_iquad(mod;m_i) $ ，用 (exgcd) 解就行辽。 当然我们可以发现，(t_i) 是 (M_i) 的逆元乘 (a_i) ，如果处理过逆元就不用再解方程了。

   最终答案是 (sum_{i=1}^{k} M_it_i) 。

   注意，为了满足所有的 (mod;m) 成立，统计答案时必须模 (m) 的 (lcm) ，因为它们互质，所以模 (M) 就行辽。

3. MOD luogu P3868

   模板题，但是要打快龟速乘（(O(log^n))）。

   如果在一些奇怪的地方看到一些奇怪的快光速乘（(O(1))） ,最好不要打，(int128) 考试用不了，(long double) 也非常玄学，会锅。

   #include<cstdio>
   #include<algorithm>
   using namespace std;
   typedef int int_;
   #define int long long
   
   
   int n; 
   int m[20],aa[20],bb[20];
   int M=1,ans;
   
   int times(int x,int y,int p){
   	int ret=0,flag=0;
   	if(y<0){
   		y=-y;
   		flag=1;
   	}
   	while(y>0){
   		if(y&1) ret=((ret+x)%p+p)%p;
   		x=((x<<1)%p+p)%p;
   		y>>=1;
   	}
   	if(flag) return (((-ret)%p)+p)%p;
   	else return ((ret%p)+p)%p;
   }
   
   void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
   	if(b==0){
   		x=1,y=0;
   	}
   	else{
   		exgcd(b,a%b,y,x);
   		y-=(a/b)*x;
   	}
   }
   
   int_ main()
   {
   	scanf("%lld",&n);
   	for(int i=1;i<=n;i++){
   		scanf("%lld",&aa[i]);
   	}
   	for(int i=1;i<=n;i++){
   		scanf("%lld",&bb[i]);
   	  	M*=bb[i];
   	}
   	for(int i=1;i<=n;i++){
   		m[i]=M/bb[i];
   		int p,q;
   		exgcd(m[i],bb[i],p,q);
   		p=times(p,aa[i],M);
   		p=((p%M)+M)%M;
   		ans+=times(m[i],p,M);
   		ans%=M;
   	}
   	printf("%lld",ans);
   	return 0;
   }
   
   

多解问题

这个标题是之后添加的，在这里

EX

普通版 (CRT) 其实有点 (low) ，看看就行辽，重点在 (EXCRT) 。

1. 作用

   同上，解线性同余方程组，但是没有 (m) 互质的条件。

   [egin{cases}xequiv a_1quad(mod;m_1)\xequiv a_2quad(mod;m_2)\quad dots\xequiv a_kquad(mod;m_k)\end{cases} ]

2. 这样我们就要一个一个解：

   对于一个同余方程，设已经解出其前面的方程的通解 (ans) 。那么我们就要解：

   [egin{cases} xequiv ansquad(mod;M)\ xequiv a_iquad(mod;m_i) end{cases} ]

   其中 (M) 是前面方程的 (m) 的 (lcm)。

   方程组可以化成：

   [m_ip+a_i= Mq+ansimplies m_ip+M(-q)=ans-a_i ]

   之后用 (exgcd) 解出 (p) 或 (q)，那么 (x=m_ip+a_i) 或 (x=Mq+ans) 。

   可以注意到，当 (m) 两两互质时 (gcd(M,m_i)=1) 即方程一定有解，而 (gcd(M,m_i)) 无法整除 ((ans-a_i)) 时方程无解。

3. 模板 luogu P4777

   (excrt) 的难点主要在于取模的细节。

   #include<cstdio>
   #include<algorithm>
   using namespace std;
   typedef int int_;
   #define int long long
   
   int n,ans,M,m[100050],aa[100050],bb[100050];
   int times(int x,int y,int p){
   	int ret=0,flag=0;
   	if(y<0){
   		y=-y;
   		flag=1;
   	}
   	while(y>0){
   		if(y&1) ret=(ret+x)%p;
   		x=(x<<1)%p;
   		y>>=1;
   	}
   	if(flag) return (((-ret)%p)+p)%p;
   	else return ((ret%p)+p)%p;
   }
   int gcd(int a,int b){
   	return b==0?a:gcd(b,a%b);
   }
   
   void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
   	if(b==0){
   		x=1,y=0;
   	}
   	else{
   		exgcd(b,a%b,y,x);
   		y-=(a/b)*x;
   	}
   }
   
   int_ main()
   {
   	scanf("%lld",&n);
   	for(int i=1;i<=n;i++){
   		scanf("%lld %lld",&aa[i],&bb[i]);
   	}
   	ans=bb[1],M=aa[1];
   	for(int i=2;i<=n;i++){
   		int g=gcd(aa[i],M);
   		if((ans-bb[i])%g != 0){
   			printf("No Solution");
   			return 0;
   		}
   		int x,y;
   		exgcd(aa[i],M,x,y);
   		x=times(x,(ans-bb[i])/g,M/g);//这里是gcd求最小正整数解，要模另一个系数除gcd
   		M*=aa[i]/g;
   		ans=(times(aa[i],x,M)+bb[i]+M)%M; //为了保证模意义下成立，要模更新过的lcm
   	}
   	printf("%lld",ans);
       return 0;
   }
   

---

-EOF-