浅尝狭义相对论

浅尝狭义相对论

小引

由于，某天有位物竞同学在群里发了道 (Lorentz) 变换的题，本着求知精神（bushi，我花了一天时间搞了搞。但是，教学里充斥的悖论（佯谬）实在让人糊涂，就又花了一天把狭义相对论看了看。但也仅止步于与洛伦兹变换相关的内容，没有深入，仅了解了足够解释悖论的内容。

由于参考资料不够，部分内容为自己手推猜测，内容可能存在错误（还有，原谅我糟糕的手绘。

正文

从伽利略变换到洛伦兹变换

伽利略变换如下：

[x'=x-ut\ y'=yquad z'=z\ t'=t ]

是一种转换参照系的方程，默认时间不变。

然而这时出现了问题，详见 迈克尔逊-莫雷实验 ，此实验说明光速对于任何参照系的观察者来说不变。

依据伽利略变换来说肯定是有问题的。

洛伦兹认为，这是因为改变参照系时，尺长和时间出现一定改变。

所以他引入一个因子 (gamma) ，与速度有关，代表尺长的改变比例，即：

[x'=gamma(x-ut)\ x=gamma(x+ut) ]

并通过联立解出 (t) 的变换式：

[t'=gamma(t+frac{(1-gamma^2)x}{ugamma^2})\ t=gamma(t'-frac{(1-gamma^2)x'}{ugamma^2}) ]

此时，假设一人在运行的火车车尾，发射一光脉冲引爆车头一装置，车长 (x) ，历时 (t) 。

又有一人在地面观测到此过程历时 (t') 。因为光速不变，车内观测的距离是 (x=ct) ，而车外观测的距离是 (x'=ct') 。这样就有一个关于 (x') 和 (t') 的方程，即可解出 (gamma) 。

[egin{cases} x'=gamma(x-ut)\ t'=gamma(t+frac{(1-gamma^2)x}{ugamma^2})\ x'=ct'\ x=ct\ end{cases} \ f 解得：\ m gamma^2=frac{c^2t}{c^2t-u^2t}implies gamma=frac{1}{sqrt{1-(frac{u}{c})^2}} ]

我们一般设 (eta=frac{u}{c}) ， (gamma=frac{1}{sqrt{1-eta^2}}) 。将洛伦兹变换表示为：

[x'=gamma(x-ut)\ y'=yquad z'=z\ t'=gamma(t-frac{u}{c^2}x) ]

两参照系的相对速度互为负值，所以反变换的式子只需将上式中 (u) 前加个负号即可。

而在实际问题中，我们经常讨论的差值，即变化量来说：

[Delta x'=frac{Delta x-uDelta t}{sqrt{1-(frac{u}{c})^2}}\ Delta t'=frac{Delta t-frac{u}{c^2}Delta x}{sqrt{1-(frac{u}{c})^2}} ]

而两式只商为：

[frac{Delta x'}{Delta t'} = frac{Delta x-uDelta t}{Delta t-frac{u}{c^2}Delta x} ]

取极限即为速度的变换式，但是右式我们并不好直接取，可以对右式上下同除一个 (Delta t) 再取，得：

[v'=frac{v-u}{1-frac{u}{c^2}v}\ v=frac{v+u}{1+frac{u}{c^2}v} ]

这即是佐证光速不变和光速是极限速度的式子。可以发现，将小于光速的速度叠加，将永远小于光速。

而将 (c) 代入，结果永远是 (c) 。

同时性

将时间作为坐标，兆示着 同时 这个概念不再严谨，譬如在参照系 (S) 中的事件 ((x_1,0),(x_2,0)) （由于 (y,z) 在变换中没有改变，我们只讨论 (x,t)） 。

转换至 (S') 时：

[t'= gamma(t-frac{u}{c^2}x) ]

两者的 (x) 有差异，致使 (t') 不相同。于是，在 (S') 中两事件就不是同时发生的。

钟慢效应

即为：时钟在静止的参照系中最快。

注意时间间隔的洛伦兹变换式为：

[Delta t'=frac{Delta t-frac{u}{c^2}Delta x}{sqrt{1-(frac{u}{c})^2}}\ Delta t=frac{Delta t'+frac{u}{c^2}Delta x'}{sqrt{1-(frac{u}{c})^2}} ]

下面的分母必然小于 (1) 所以转换出来的 (Delta t') 必然大于 (Delta t) ，意思是，在你看来，对方觉得一秒内的事情你觉得过了更长时间，即为对方的表慢了。有趣的是，由 (Delta t') 转向 (Delta t) 也会出现相同情况。就成了互相看对面钟慢的局面。

注意，这里是指时间间隔大，意思是说，最明显的表现是表慢了，但其实万物的推进速度都会变慢。

至于这两者的互相矛盾，其实并不。两者只是观察角度不同，在两个参照系下，各自都是正确的。正如两个人互相远离后，都可以对对方说，“嘿，你看起来变矮了”。

借用耶鲁大学某教授神奇比喻：

” In fact,even more paradoxical is how in this world two people can simultaneously look down on each other“

事实上，更悖论的是世界上可以存在两人同时互相看不起对方。

尺缩效应

即为：米尺在静止的参照系中最长。

如何量取一个物品的长度呢，当然是 同时 截取其首尾，计算坐标差。

已知坐标间隔的洛伦兹变换为：

[Delta x'=frac{Delta x-uDelta t}{sqrt{1-(frac{u}{c})^2}}\ Delta x=frac{Delta x'+uDelta t'}{sqrt{1-(frac{u}{c})^2}} ]

因为必须同时测量， (Delta t) 就为 (0) 那么就变成了：

[Delta x'(sqrt{1-(frac{u}{c})^2})=Delta x ]

既然 (Delta t) 为 (0) ，那么 (Delta x) 就是你所观测到的长度，由于根号下的数小于 (1) ，你所见的杆长会小于对面的。

两个悖论

• 假设 (A) 以一个极高的速度与 (B) 擦肩而过，这个速度使得尺缩为原来的一半。那么这时，(A) 手上有个半米长的洞，(B) 手上有个一米长的尺子。那么，在 (A) 看来，尺子可以进去，在 (B) 看来，一米的尺子当然进不去四分之一米的洞。然而即使两者的观察角度不同，尺能否进去的答案只能有一个，到底是能进去还是不能呢？

  

  答案是能进去。

  这个佯谬的关键在于同时性，也解释了尺缩的本质。在你眼里，你是同时量的尺子两端，尺子也是两端同时进去。而在对方眼里，你不是同时量的尺子，而尺子是一头先进洞，然后另一头再进去的。

• 双生子悖论

  假设有一对双生子，哥哥坐上火箭，高速远离地球再回来，而弟弟在地球上。按钟慢效应，哥哥会觉得弟弟年轻，弟弟会觉得哥哥年轻。然而两人中只有一人会更年轻，到底谁是对的呢。

  这个悖论在于，题中忽略了加减速阶段，狭义相对论只适用于惯性系，加减速是非惯性系，所以要用广义相对论。

  但是其实用狭义相对论也可以解释，解决方法就是闵氏时空。

  P.S. 在了解过程中发现了这个整活视频 。

闵可夫斯基时空

又称闵氏时空。将时间这一维加入坐标系来描述。

然而已经有三个正交轴了，剩下的时间轴塞哪呢。

于是乎我们将时间乘上 (ic) ，即以 (ict) 作为第四轴，这样既与三个轴正交，又解决了单位问题。（(i) 为虚数单位，(c) 为任意速度，当然根据事实是光速，这个稍后解释）。

由洛伦兹变换式可知，洛伦兹变换是个线性变换，放在闵氏时空里，就是一个坐标系转动。

距离

在坐标系变换中，我们首先要找到一个不变量，这个量就是距离 (s) 。

既然是距离，那么当然是用类似勾股的方法，将平方加起来就好了：

[s^2=|x^2+y^2+z^2+(ict)^2|\ =|r^2-c^2t^2| ]

并且定义固有时 ( au=frac{Delta s}{c}) ，由于各参照系中距离是不变的，固有时就统一了不同参照系的时间。

并且此时，(c) 就成了宇宙中的一个特殊的速度。

若一物体在参照系 (S) 中以 (c) 移动，其 (frac{Delta r}{Delta t}) 值为 (c) ，即 (Delta r=cDelta t) ，这样 (s) 就为 (0)。

那么在任意参照系中 (s') 也为 (0) ，那么其速度也是 (c) 。（不管 (c) 是不是光速）

那么根据事实得知的光速不变原理，我们将其认为是光速。

复坐标系

闵氏时空坐标是一个复坐标系，所以其中旋转矩阵的几个三角函数值要乘一个虚数单位 (i) 。

由于 (y,z) 在变换中始终不变，就只讨论 (ict-x) 平面。

我们先把洛伦兹变换中的时间式换成 (ict) :

[t'= gamma(t-frac{u}{c^2}x)implies ict'= gamma(ict-ifrac{u}{c}x) ]

再把洛伦兹变换的矩阵形式写出来：

[egin{bmatrix} x'\ ict' end{bmatrix} = egin{bmatrix} gamma & ietagamma\ -ietagamma & gamma end{bmatrix} egin{bmatrix} x\ ict end{bmatrix} ]

会发现变换矩阵形式莫名地像旋转矩阵，而且：

[gamma^2+(ietagamma)^2=1 ]

那我们不妨来猜一猜，(gamma=Cos heta;,;ietagamma=Sin heta;,;ieta=Tan heta) 。

将 (gamma) 中的 (eta) 项换成 (Tan heta) ，刚好化出来是 (Cos heta) 。并且由于是在复平面上， (Sin heta) 和 (Tan heta) 是虚数。

那么，洛伦兹变换就相当于将闵氏时空的坐标系逆时针旋转 ( heta) ，其中 (Tan heta=ieta) 。

通过闵氏时空解释尺短钟慢

如图，(ict') 坐标为 (3) 的位置，在 (ict) 中小于 (3) 。反过来同理，这就是为何钟慢。

尺短也可以类似解释。

闵氏空间解释双生子佯谬

终于到了解决这个疑惑的时候了。

答案是出去旅行的哥哥更年轻。

原因如图，橙色线是飞船参照系的时间轴坐标网格。

可以看见，飞离地球时，哥哥一直认为弟弟所在时间进行的慢。

而在减速回途时，由于速度改变，参照系迅速扭转，这时哥哥观测下弟弟的时间会飞速加快，超过自己的。

而在回途后，哥哥会觉得弟弟时间变慢，但是参照系扭转程度极大，所以还是弟弟时间快。

而之前我们的纠结是因为忽略了变速阶段，出现了上图左边的时间跳跃，跳过了弟弟的一段时间。

当然还有更暴力的方法，计算固有时 ( au=frac{sqrt{|x^2-c^2t^2|}}{c}) 。

由于 (c) 极大，所以结果肯定为负，而哥哥有 $Delta x $ 值，所以绝对值会小一点，固有时也小，所以哥哥年轻。

声明和感谢

本文仅代表个人意见，不保证出现错误。

参考资料：

• 分钟物理
• 耶鲁大学公开课
• tck's blog 虽然感觉有错

部分参考源自百度百科和知乎

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