关于n对碱基的DNA种类数问题

关于n对碱基的DNA种类数问题

UPDATE

2020-2-29

经过一些同学的疑问后，我对此条目也发生了一些怀疑。

这种算法是基于，“ 两条链只是互相反向，但是不能区分 ” 这个观点来算的。

但是实际情况往往有很多可以区分的方法，比如有义链，着丝点等等，所以近似 (4^n) ，与高中生物无太大差别。但是也不乏各种特殊情况， (DNA) 的奥秘还没有一个定论。

所以此文仅当作理论化的特殊情况看就好了x。

此外，正文中开篇提出的题没有给出正确答案。

在此给出 “理论” 上的解：

首先考虑一条链的所有情况，一共有

[4 imes 2 imes 4 imes 2+4 imes 2 imes 2 imes 2=96 ]

明显这条链只有四个。

我们有 (ATCG) 每个碱基 (2) 个可以选。

第一个位置有四种性质，但是第二个时，如果选和第一个位置一类的碱基（比如都选了 (A) 或 (T) ，之后就只有 2种情况；反之有四种。这就是+号的意义

我们知道除了一种类似 ‘回文’ 一样的串只计了一次，我们要先找这种链的个数，等同于找长度为 (2) 个碱基的链的个数，是 (4 imes 4=16) 。

最后在除二之前将这部分再多加一份就行了：

[ans=frac{96+16}{2}=56 ]

（最后修正了些笔误

正文

某天在册子上做到了这么个问题：

• 如果有 (2) 个 (A-T) 碱基对和 (2) 个 (C-G) 碱基对，那么可能有多少种可能的 (DNA) 片段？

我最初想是 (C^{2}_{4} imes 2^4div 2) ，和选项不符，也没多想就过了。

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上面那个式子的解释：

• 考虑 (4) 个碱基对的有重复排列，是 (frac{4!}{2! imes 2!}) ，再考虑每个碱基有正反两种放法（如 (A-T) 和 (T-A) ），所以每个乘 (2) 。最后注意到 (DNA) 的反向对称使得其翻转过来是一样的，会有中心对称的情况，所以再除以 (2) 。

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然后之后又做了关于 “ (n) 对碱基的 (DNA) 可能有多少种可能 ” 这样的题，答案竟然给了个 (4^n) !

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(DNA) 的种类其实是和上面的解释一样的：

• (n) 个碱基对的排列有 (2^n) ，然后每个碱基对两种情况再乘 (2^n) ，最后（理应）除 (2) 。

然而还有另外一种理解，可能对下面的思考更有用：

• 考虑一条链，(4) 种碱基的排列有 (4^n)​ 种 ，另一条靠碱基互补配对确定，最后再除 (2) 。

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刚好有几位同学也有此疑问，于是我们开始思考其原因。

首先，有一个理论，由于 (DNA) 是有方向的，两端并不一样，一端的磷酸连的是脱氧核糖上的 (5) 号碳，所以将其命名为 (5`) 端，另一端的羟基连的是 (3) 号碳，所以称为 (3`) 端。这个理论可能会造成两种可能间的微小的不同。

之后，我们思考了下其多算的原因：

• 第一种，由于碱基互补：

  [egin{vmatrix} A & T\ C & G end{vmatrix} ;equiv; egin{vmatrix} G & C\ T & A end{vmatrix} ]

• 第二种，简单的对称:

  [egin{vmatrix} A & T\ C & G end{vmatrix} ;equiv; egin{vmatrix} C & G\ A & T end{vmatrix} ]

然后，枚举了 (n=2) 的所有情况

[egin{vmatrix} 3 & 5\ A & T\ A & T\ 5 & 3 end{vmatrix} equiv egin{vmatrix} 3 & 5\ T & A\ T & A\ 5 & 3 end{vmatrix}\ (1) \ egin{vmatrix} 3 & 5\ G & C\ G & C\ 5 & 3 end{vmatrix} equiv egin{vmatrix} 3 & 5\ C & G\ C & G\ 5 & 3 end{vmatrix}\ (2) \ egin{vmatrix} 3 & 5\ A & G\ C & T\ 5 & 3 end{vmatrix} equiv egin{vmatrix} 3 & 5\ G & C\ T & A\ 5 & 3 end{vmatrix}\ (3) \ egin{vmatrix} 3 & 5\ C & G\ A & T\ 5 & 3 end{vmatrix} equiv egin{vmatrix} 3 & 5\ T & A\ G & C\ 5 & 3 end{vmatrix}\ (4) \ egin{vmatrix} 3 & 5\ G & C\ A & T\ 5 & 3 end{vmatrix} equiv egin{vmatrix} 3 & 5\ T & A\ C & G\ 5 & 3 end{vmatrix}\ (5) \ egin{vmatrix} 3 & 5\ A & T\ G & C\ 5 & 3 end{vmatrix} equiv egin{vmatrix} 3 & 5\ C & G\ T & A\ 5 & 3 end{vmatrix}\ (6) \ egin{vmatrix} 3 & 5\ G & C\ C & G\ 5 & 3 end{vmatrix}\ (7) \ egin{vmatrix} 3 & 5\ C & G\ G & C\ 5 & 3 end{vmatrix}\ (8) \ egin{vmatrix} 3 & 5\ T & A\ A & T\ 5 & 3 end{vmatrix}\ (9) \ egin{vmatrix} 3 & 5\ A & T\ T & A\ 5 & 3 end{vmatrix}\ (10) ]

可以发现，除了最后四种，都重复了两次，这是由于碱基配对的重复。而最后四种乍一看有重复，但是 (3`) 和 (5`) 是反的。

那么我们的重点就是如何找到只算一次的项。

可以发现，只要是按碱基配对变换后再倒过来和原来一样的链，都只会计一次。

例如：

[egin{vmatrix} 3 & 5\ color{red}{A} & color{teal}{T}\ color{red}{T} & color{teal}{A}\ color{red}{G} & color{teal}{C}\ color{teal}{C} & color{red}{G}\ color{teal}{A} & color{red}{T}\ color{teal}{T} & color{red}{A}\ 5 & 3 end{vmatrix}\ ]

而如何一样呢，只需要对半分开，然后计算一半长链的排列，另一半按配对填上就行了。即为 (4^{nover2}) 。而只有偶数长度会有这种情况，奇数是不行的。

最后我们只要在除之前将这部分再加一份，求可以不多除了！

[Ans(n)=egin{cases} frac{4^n}{2} & ext{$n=2k+1$}\ frac{1}{2} imes(4^n+4^{frac{n}{2}}) & n=2k end{cases} ]

这就是结论的式子啦！

经过打表检验正确。

至于 (4^n) 的来源，我们可以这么想，一般 (DNA) 分子是凭依在蛋白质载体上，所以按具体情况有办法区分两条排列一样的链，所以所谓对称就不存在了，但是若是单独讨论 (DNA) 答案即为而上述结论。

声明与感谢

感谢两位朋友 (yyy) 和 (zyl) 的指点。（@opethrax @BeyondLimits

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(frak by; thorn\_)